1.10.2 Berechnung einer Planetenbewegung

Eine unter der Gravitationskraft der Sonne ablaufende Planetenbewegung kann wie der Wurf mit Reibung mit sim.php  abschnittsweise quantitativ behandelt werden. Die Kraftkomponenten F_x =  F₁ und F_y = F₂ auf den Planeten und die hierdurch verursachten  Beschleunigungskomponenten a_x = a₁ und a_y = a₂  in der x- und y-Richtung eines von der Sonne ausgehenden Koordinatensystems werden wie folgt berechnet (siehe Abb. 1):

Eine Planetenbahn wird mit dem Folgenden Programm in der App. Sim.html ( ist auf den gegebenen Fall eingestellt) gezeichnet (siehe Abb.2).

h=800; m=2E30; G=6,67E-11; R = wrz(x*x+y*y);i=G*M/R^3; a=-i*x; b=-i*y; a=0,5*j*(a-o)+a;b=0,5*j*(b-p)+b; x=0,5*a*h^2+c*h+x; y=0,5*b*h^2+d*h+y ; c=c+a*h; d=d+b*h; o=a;p=b; j=1; t=t+h

Anfangswerte von x =1E11 m und d= v_y =20000 m/s

Die Rechnung wird genauer, wenn zu den einzelnen Rechenschritte nicht die Beschleunigung a zu Beginn eines Zeitabschnitts h (Δt) genommen wird, sondern stattdessen die Beschleunigung a_m in der Mitte des Zeitabschnitts h (Δt).

Für a_m kann geschrieben werden; a_m = a_vor + Δa, Δa ≈ (a_{vor Δt} – a_{nach Δt} )/2.­

Da  a_{nach Δt} zur Berechnung von (a_{vor Δt} – a_{nach Δt} )/2 unbekannt ist, wird das zum letzten Zeitabschnitt gehörende Δa  zur Korrektur genommen. Dies ist beim ersten Δt nicht möglich. Damit die zur Berechnung von Δa angelegte Formel beim ersten Schritt keinen völlig unpassenden Wert liefert, ist in dem angegebenen Programm die Variable j (Anfangswert = 0) eingeführt,

Abb. 2

Mit Hilfe des obigen Rechenprogramms kann die Gültigkeit der drei Keplerschen Gesetze nachgewiesen werden.

Johannes Kepler  fand seine drei Gesetze bei der Auswertung der Messergebnisse des dänischen Astronomen Tycho de Brahe, der wie er am kaiserlichen Hof in Prag als Mathematiker und Hofastrologe tätig war.

Mathematische Beschreibung der Planetenbahn