Beschreibung der Planetenbahn mit Polarkoordinaten r und φ

Abstand des Punktes B₁ zum Planeten + Abstand des Punktes B₂  zum Planeten = Konstante = 2·a (siehe Abb.2). a ist die halbe Länge und b die halbe Breite der Ellipse. Hat der Planet von B₁  den Abstand r, dann ist der Abstand von B₂  gleich 2·a - r.

Nach dem Kosinussatz gilt:

(2·a – r)² = r² + 4·e² – 4·e·r · cos α; cos φ = - cos α →   (2·a – r)² = r² + 4·e² + 4·e·r · cos φ

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4 · a² + r² – 4 · a · r = r² + 4·e² + 4·e·r · cos φ → a² – e² = a · r + e·r · cos φ

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a² – e² = b²   →   b² = r · (a + e ·cos φ ) →   r = b²/ (a + e ·cos φ

b² / a = K,   e/a = ε

ε wird numerische Exzentrizität genannt.

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  r = K /( 1 + ε · cos φ)

Mit dem folgenden Programm im Grafikrechner wird die Planetenbahn nach r = K /(1 + ε· cos φ) dargestellt.

w=w+1;d= 0,7; K=3E10;r = K/(1+d*cosg(w)); x = -r *cosg(w); y= -r*sing(w)

Anmerkungen: d = ε , w = φ , cosg(w) und sing(w)  sind Funktionswerte zu Winkeln in Grad.

Die angegeben K und ε können an der Planetenbahn in der Abb. 3 abgelesen werden.

Abb.3

K = 2,98E10 m = 2,98·10¹⁰ m   ist der Betrag des y-Werts zu φ = 90° ; cos(90°) = 0. Mit K und dem maximalen Abstand Planet-Sonne ist ε berechenbar.

r = K/[1+ ε · (-1) ] = 1E11 m = 10¹¹ m;   cosφ = cos(180°)= -1 → 1- ε  = 2,98· 10¹⁰ / 10¹¹   → ε = 0,702

Bahnen mit |ε|≥ 1

Startet man das  obige Programm mit |d| = |ε|≥1, dann erhält man keine Ellipse. r = K /( 1 + ε · cos φ) beschreibt mit  |ε|= 1 eine Parabel (Abb. 4) und mit  |ε|> 1 eine Hyperbel (Abb. 5).

Die Hyperbelbahn passt sich mit wachsendem Abstand von der Sonne einer Geraden an.

Es ist zunächst zweifelhaft, ob r = K /( 1 + ε · cos φ) mit |ε|≥1 eine Bahn im Gravitationsfeld der Sonne wiedergibt. Für die Zulässigkeit spricht das Bewegungsdiagramm in der Abb. 6. Es wurde mit dem folgenden Programm zur Berechnung der Planetenbahnen unter der Voraussetzung gezeichnet, dass die Geschwindigkeit v= d am Ort (-1E-10;0) 200000 km/s beträgt. Die Bahn in der Abb.6 weicht nicht von der in der Abb.5 ab.

h=800; M=2E30; G=6,67E-11; R = wrz(x*x+y*y);i=G*M/R^3; a=-i*x; b=-i*y; a=0,5*j*(a-o)+a;b=0,5*j*(b-p)+b; x=0,5*a*h^2+c*h+x; y=0,5*b*h^2+d*h+y ; c=c+a*h; d=d+b*h; o=a;p=b; j=1; t=t+h

Abb. 6

Sehr schnelle   Körper   (z.B. Kometen), die mit ihrer großen kinetischen Energie den Anziehungsbereich der  Sonne verlassen können, bewegen sich auf Bahnen mit  |ε|>1. Bei ε = 1 reicht die Energie gerade zum Verlassen des Sonnenbereichs, das heißt die kinetische Energie des Flugkörpers K an einem Punkt P im Abstand r von der Sonne gleicht der Arbeit, welche mindestens nötig ist, um K von P aus in den Weltraum zu befördern.

Geometrische Eigenschaften der Parabel und der Hyperbel