1.10.2 Berechnung einer Planetenbewegung
Eine unter der Gravitationskraft der Sonne ablaufende Planetenbewegung kann wie der Wurf mit Reibung mit „Mathe.-Physik“ abschnittsweise quantitativ behandelt werden. Die Kraftkomponenten Fx = F1 und Fy = F2 auf den Planeten und die hierdurch verursachten Beschleunigungskomponenten ax = a1 und ay = a2 in der x- und y-Richtung eines von der Sonne ausgehenden Koordinatensystems werden wie folgt berechnet (siehe Abb. 1):
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Abb. 1 |
- F1 / F = x/R F = G · m · M / R2 m: Masse des Planeten M : Masse der Sonne F1 = -F ·x /R → F1 = - (G · m · M / R3) · x ) → a1 = - (G · M / R3) · x ) Entsprechend erhält man für F2 und a2 : → F2 = - (G · m · M / R3) · y ) → a2 = - (G · M / R3) · y ) Zur Abkürzung schreiben wir j für G · M / R3. → a1 = - j · x ; a2 = - j · y |
In der nun folgenden Tabelle sind zwei Programme zur Darstellung einer Planetenbahn zu sehen. Im 1. Programm wird zur Berechnung der Änderungen (Geschwindigkeit und Ort) während eines kleinen Zeitabschnitts h (Δt) die Beschleunigung a zu Beginn des Zeitabschnitts genommen. Dies führt zu kleinen Fehlern, da sich die Beschleunigung innerhalb von h (Δt) ein wenig ändert. Zur Verringerung dieses Fehlers wird im 2. Programm die Beschleunigung c in der Mitte des Zeitabschnitts h (Δt) zur Berechnung eingesetzt.
Für die Änderung Δa der Beschleunigung in Δt/2 kann geschrieben werden:
Δa ≈ (avor Δt – anach Δt )/2
Da a nach Δt zunächst unbekannt ist, wird das zum letzten Zeitabschnitt gehörende Δa genommen.
Δa = (a – b)/2 → c = a+ (a – b)/2
b = Beschleunigung zu Beginn des letzten Zeitabschnitts der Dauer h.
Die Variable f (Anfangswert = 0) wurde eingeführt, damit a – b wegen des zunächst noch undefinierten b nicht in den ersten Rechenschritt eingeht .
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|v|V|x|y|h|G|M|n|f|t|=|0|30000|1E11|0|2000|6.67E-11|2e30|0|0|0| Anfangsbedingungen mit Doppelklick festlegen !
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1. wiederhole bis n=1 R = wrz(x*x+y*y) j =G*M/R^3 a=-j*x x = a/2*h^2+v*h+x v=a*h+v A=-j*y y=A/2*h^2+V*h+y V=A*h+V _x;y;;10 zurück
Der Abbruch des Programms erfolgt mit einem Mausklick, denn n bleibt = 0 ! |
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2. wiederhole bis n=1 R = wrz(x*x+y*y) j =G*M/R^3 b=a a=-j*x c=a+(a-b)/2*f x = c/2*h^2+v*h+x v=c*h+v B=A A=-j*y C=A+(A-B)/2*f f=1 t = t+h y=C/2*h^2+V*h+y V=C*h+V _x;y;;10 zurück
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Wird die Starttaste nach Eingabe der Zahl 56 betätigt, dann kann mit dem Programm in der 2. Tabellenspalte die Bahn eines Planeten dargestellt werden (siehe Abb. 2).
Abb. 2
Mit Hilfe des obigen Rechenprogramms kann die Gültigkeit der drei Keplerschen Gesetze nachgewiesen werden.
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anklicken ! |
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Johannes Kepler fand seine drei Gesetze bei der Auswertung der Messergebnisse des dänischen Astronomen Tycho de Brahe, der wie er am kaiserlichen Hof in Prag als Mathematiker und Hofastrologe tätig war.
Hier soll noch darauf hingewiesen werden, dass das Programm „Mathe.-Physik“ unter „Simulation“ ein Unterprogramm enthält, mit dem unter anderem Planetenbahnen dargestellt werden können.
Nach Eingabe von „29“ und „START“ wird es mit einer für Planetenbahnen passenden Einstellung aufgerufen.
Mathematische Beschreibung der Planetenbahn
