Mathematische Beschreibung der Planetenbahn

Wie ändert sich der Abstand r des Planeten von der Sonne mit dem Drehwinkel φ (siehe Abb. 1) ?

Abb. 1

Abb. 2


Abstand des Punktes B1 zum Planeten+ Abstand des Punktes B2  zum Planeten = Konstante = 2·a (siehe Abb. 2)

a ist die halbe Länge und b die halbe Breite der Ellipse.

→ Hat der Planet von B1  den Abstand r, dann ist der Abstand von B2  gleich 2·a - r.

Nach dem Kosinussatz gilt:

(2·a – r)2 = r2 + 4·e2 – 4·e·r · cos α

cos φ = - cos α

→    (2·a – r)2 = r2 + 4·e2 + 4·e·r · cos φ

4 · a2 + r2 – 4 · a · r = r2 + 4·e2 + 4·e·r · cos φ

a2 – e2 = a · r + e·r · cos φ

a2 – e2 = b2   →   b2 = r · (a + e ·cos φ )

→    r = b2/ (a + e ·cos φ )

b2 / a = K,   e/a = ε ;

ε wird numerische Exzentrizität genannt.


→  r = K /( 1 + ε · cos φ);      x = - r· cosφ;   y = - r · sin φ


Nun soll geprüft werden, ob eine mit „Mathe.-Physik“ gewonnene Planetenbahn mit r = K /(1 + ε· cos φ) beschreibbar ist.

Nach „39“ und „START“ erscheint die in Abb. 2 sichtbare Planetenbahn mit einem Programm zur Darstellung einer Ellipse nach

r = K /( 1 + ε · cos φ).


Dieses Programm erzeugt eine Bahn, die genau auf der Planetenbahn liegt.

Auch mit Hilfe einer Gleichung für die x- und y-Koordinaten einer Ellipse kann nachgewiesen werden, dass die Planetenbahn eine Ellipse ist.



 

 

Abb. 3

 

Anmerkungen zum Rechenprogramm

E: numerische Exzentrizität

w: Winkel Phi

cosg(w) und sing(w)  sind Funktionswerte

zum Gradmaß w

Für das Programm muss das zur Bahn passende K und ε gefunden werden.

K = 2,98E10 m = 2,98·1010 m   kann sofort abgelesen werden.

 Es ist der y-Wert zu φ = 270° ; cos(270°) = 0.

Mit K und dem maximalen Abstand Planet-Sonne ist ε berechenbar.

r = K/[1+ ε · (-1) ] = 1E11 m = 1011 m 

cosφ = cos(180°)= -1 !

→ 1- ε  = 2,98· 1010 / 1011  

→  ε = 1 – 2,98/10   = 0,702

 

Rechenprogramm

 

|w|E|K|=|0|0.7|3E10|

 

wiederhole bis w=360

r = K/(1+E*cosg(w))

wenn r>0

x = -r *cosg(w)

y=-r*sing(w)

_x;y;;10

ohnewenn

w=w+0.5

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Bahnen mit |ε|≥ 1

Startet man das  obige Programm mit |E| = |ε|≥1, dann erhält man keine Ellipse. r = K /( 1 + ε · cos φ) beschreibt mit  |ε|= 1 eine Parabel (Abb. 4) und mit  |ε|> 1 eine Hyperbel (Abb. 5).


 

 

 

Die Hyperbelbahn passt sich mit wachsendem Abstand von der Sonne einer Geraden an.

 

Abb. 4

Abb. 5

 

 



Geometrische Eigenschaften der Parabel und der Hyperbel


Sehr schnelle   Körper   (z.B. Kometen), die mit ihrer großen kinetischen Energie den Anziehungsbereich der  Sonne verlassen können, bewegen sich auf Bahnen mit  |ε|>1. Bei ε = 1 reicht die Energie gerade zur Loslösung von der Sonne aus, das heißt die kinetische Energie des Flugkörpers K an einem Punkt P im Abstand r von der Sonne gleicht der Arbeit, welche mindestens nötig ist, um K von P aus in den Weltraum zu befördern.