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. Quadratische Gleichungen
Aufgabe:
Es wird ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c = 20 cm gewünscht, dessen eine Kathete um 6 cm länger ist als die andere Kathete.
a = x; b = x+6; c = 20
x² + (x + 6)² = 400 → x² + x² +12x +36 = 400 → 2x² +12x = 364 → x² +6x = 182
→ x² + 6x - 182 = 0
Wenn wir eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die Form a · x² + b · x + c = 0 bringen können , dann heißt diese Gleichung quadratische Gleichung.
In dem hier vorliegenden Beispiel gilt: a = 1; b = 6; c = -182
Wir wollen zunächst die einfachere quadratische Gleichungen behandeln und hoffen, dass wir hierbei Anregungen zur Entwicklung eines allgemeinen Lösungsverfahrens erhalten.
Beispiel für eine sehr einfachen quadratischen Gleichung:
Zur Erklärung des Betragszeichens muss auf die Definition des Wurzelbegriffs hingewiesen werden.
Definition:
Die Wurzel aus d ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat d ist.
Hiernach
ist
immer
positiv.
Da
die Lösung von x2 = d sowohl positiv wie negativ sein
kann, muss statt x =
die
Gleichung |x| =
geschrieben
werden.
Ist
z.B. d = 25, dann gilt: x2 = 25;
|x| =
;
L = {-5;+5}
Beispiel für eine etwas komplizierteren Gleichung:
Die Gleichung (x + 2)2 = d kann in die Form a · x2 + b · x + c = 0 gebracht werden.
(x + 2)2 = d → x2 + 4·x + 4 = d → x2 + 4·x + (4 – d) = 0
a = 1; b = 4; c = 4 – d
Die gerade behandelte Gleichung x2 + 4·x + (4-d) = 0 ähnelt der anfangs gegebenen Gleichung x2 + 6·x –182 = 0. Eine Umwandlung von x2 + 6·x –182 = 0 in die Form (x + e)2 = d erscheint möglich.
x2 + 6 · x – 182 = 0 → x2 + 6 ·x = 182 → x2 + 6 · x + 9 = 182 + 9
→ (x+3)2 = 191
(x+3)2
=
191 →
|x+3|
=
→
x+3
= ±
→
x1
=
-3 +
;
x2
=
-3 -
Die eingefügte 9 ermöglicht die Umwandlung der rechten Seite in ein Quadrat. Diese 9 heißt quadratische Ergänzung.
9 = (6/2)2
Die passende quadratische Ergänzung erhält man, indem man die Hälfte des bei x stehenden Faktors quadriert. Dies gilt nur dann, wenn der Faktor vor x² gleich 1 ist !
Eine Gleichung wie x2 + 6 · x – 182 = 0 und Gleichungen höheren Grades können mit dem hier verfügbaren Online-Programm Nullstellen gelöst werden.
Allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung
a · x2 + b· x + c = 0
Wird die Gleichung beiderseits durch a geteilt, dann entsteht eine äquivalente Gleichung mit dem Faktor 1 bei x2.
x2 + (b/a) · x + c/a = 0 → x2 + (b/a) · x = - c/a
Nun wird die quadratische Ergänzung (½ · b/a)2 beiderseits addiert.
x2 + (b/a) · x + (½ · b/a)2 = - c/a + (½ · b/a)2
→ ( x + ½ · b/a )2 = - c/a + ¼ · b2/a2 ( Beide Seiten werden mit 4 · a2 multipliziert.)
→ 4 · a2 · ( x + ½ · b/a )2 = b2 - 4 · a · c ( Von beiden Seiten werden Wurzeln gebildet.)
→
Unter Berücksichtigung von 4 · a2 · ( x + ½ · b/a )2 = 2 · a · ( x + ½ · b/a ) · 2 · a · ( x + ½ · b/a )
können wir schreiben:
→ 
→
→ 
Die Diskriminante
Anhand des in der Wurzel stehenden Terms b2 – 4 · a · c = D kann entschieden werden, ob die quadratische Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat
D = 0: Es gibt nur die Lösung –b/ (2 · a)
D > 0 : Es gibt zwei Lösungen
D < 0: Es gibt keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gebildet werden kann. Es gibt keine Zahl deren Quadrat negativ ist.
b2 – 4 · a · c trägt den Namen „Diskriminante“
Mit Hilfe des Satzes von Vieta können die Lösungen manchmal sofort angegeben werden.
Quadratische Gleichungen liegen meistens nicht in der Form a· x2 + b· x + c = 0 vor. Sie müssen durch Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden.
Äquivalenzumformungen von quadratischen Gleichungen (anklicken !)
Mit Hilfe des Programms Mathe.-Physik können quadratische Gleichungen graphisch gelöst werden.
Graphische Lösung einer quadratischen Gleichung mit Hilfe des Rechners (anklicken !)