Äquivalenzumformungen von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind häufig erst nach mehreren Äquivalenzumformungen als quadratische Gleichungen erkennbar.

Beispiel:

Zunächst muss man sich von den Nennern befreien. Dies gelingt durch Multiplikation beider Seiten mit einem gemeinsamen Nenner N.

Hier eignet sich als N das Produkt (x-1) · (x+1).  x² – 1 = (x-1) · (x+1) ist zu beachten !

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       3 · x · ( x + 1) – x · (x – 1) = 6     ↔   3 · x² + 3 · x – x² + x = 6   ↔  2 · x² + 4 · x – 6 = 0 

x₁ = 1; x₂ = -3    →     L = {-3}

In der Lösungsmenge ist nur – 3 angeben, weil die Gleichung für x = 1 nicht definiert ist. Bei – 1 und + 1 nehmen je zwei Nenner  in der ursprünglichen Gleichung die Werte 0 an.

Bruchterme mit dem Nenner 0 sind nicht definiert !