Wichtige Begriffe und Grundgesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird von Zufallsergebnissen und Zufallsereignissen gesprochen. Die Ergebnisse eines Würfelspiels sind die Zahlen von 1 bis 6.  Ergebnisse sind Unterscheidungsmerkmale von zufälligen Begebenheiten (Zufallsexperimenten), sie schließen sich gegenseitig aus. Die Gesamtheit aller Ergebnisse ω bilden den Ergebnisraum Ω. Eine Teilmenge aus diesem Ergebnisraum wird Ereignis A genannt. Beim Würfelspiel ist z.B. A = {2; 4 ; 6} ein Ereignis (Ereignis „gerade Zahl“). Ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments im Ereignis enthalten, dann sagt man, das Ereignis sei eingetreten. Zu den Teilmengen des Ergebnisraums gehört auch die leere Menge Ø (unmögliches Ereignis) und der Ergebnisraum Ω selbst (sicheres Ereignis).

Additionsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wenn sich zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gegenseitig ausschließen (disjunkt sind), dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P(A oder B) = P(A V B):

Beispiel:

Es werde nach der Wahrscheinlichkeit gefragt mit der beim Würfelspiel „5“ oder „6“ geworfen wird. Die relative Häufigkeit von „5“ oder „6“ ist die Summe aus der relativen Häufigkeiten von „5“  und  „6“.     h(5 oder 6) = h(5) + h(6).

↓

P(5 oder 6) = P(5) + P(6)

Aus dem Gesetz P(A V B) = P(A) + P(B) kann man einen wichtigen Schluss ziehen:

Man stelle sich vor, die n Ergebnisse ω₁, ω₂ ω₃, ω₄...... ω_n eines Zufallsexperiments seien wie beim Würfelspiel gleich wahrscheinlich.

↓

P(ω₁) + P(ω₂) + P(ω₃) + P(ω₄) ........ + P(ω_n)    =   n· P(ω₁) = 1      →        P(ω₁) = 1/n

P(A) = P(ω₁) + P(ω₂) + P(ω₃) = 3· P(ω₁) → P(A) = 3/n

Unter den hier angegebenen Bedingungen erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei einem Zufallsexperiment nach:

P(A) = Zahl der möglichen Ergebnisse für A / Zahl aller möglichen Ergebnisse

Für das Auftreten einer geraden Zahl beim Würfelspiel gilt beispielsweise: P(gerade) = 3/6 = ½

Anwendung auf das Lottospiel (Kombinatorik)

Wie ist das oben angegebene Additionsgesetzt zu ändern, wenn A und B sich nicht ausschließen ?

Wir stellen uns vor, A und B seien die Ereignisse {1, 2, 3} und {2, 4, 6} eines Würfelspiels. Wenn eine 2 geworfen wird, dann ist sowohl A als auch B eingetreten.

P(A oder B) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(6)

P(A) = P(1) + P(2) + P(3)

P(B) = P(2) + P(4) + P(6)

↓

       P(A oder B)   =    P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(6) = P(A) + P(B) – P(2)

 {2} ist die Schnittmenge von A und B.

Multiplikationsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit der bei zweimaligem Würfeln (Doppelwurf) das Ereignis A (6;5 oder 6;4) erzielt wird.

Die Ergebnisse eines Doppelwurfs sind die 36 gleich wahrscheinlichen Zahlenpaare {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) ,   (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6)  ...... (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}

Die Teilmenge {(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)} aus diesem Ergebnisraum ist das Ereignis B (eine 6 beim ersten Wurf).

P(B) = 6/36 = 1/6

Die Teilmenge {(1;4), (2;4), (3;4), (4;4), (5;4), (6;4), (1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5)} aus diesem Ergebnisraum ist das Ereignis C (4 oder 5 beim zweiten Wurf)

P(C) = 12/36 = 2/6

{(6;5), (6;4)}, 2/6 von B, die Schnittmenge von B und C, ist das Ereignis A.

     P(A) = 1/6 · 2/6 = 2/36 = P(6) · P(5 oder 4).

P(B∩C) = P(B) · P(C)

Allgemeingültigkeit erlangt dieses Gesetz nur in der Form P(B∩C) = P(B)·P_B(C), denn P(C) kann davon abhängen, ob sich B ereignet oder nicht ereignet hat. Unter P_B(C) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C zu verstehen, wenn sich B ereignet hat. Ist die Abhängigkeit von B nicht gegeben, dann ist P_B(C) = P(C).

Im folgenden Fall ist die Wahrscheinlichkeit des Folgeereignisses C vom Ereignis B abhängig:

B = „Das Ergebnis des 1. Wurfs ist 4 oder 5“ {(4; 1), (4;2), ..... (4;6), (5;1), (5;2),....... (5;6) }   ;    P(B) = 12/36 = 1/3

C = „Es stellt sich mit beiden Würfen eine Summe größer als 9 ein“ ={(4;6), (5;5), (5;6), (6;6), (6;5),(6;4)}; P(C) = 6/36 = 1/6

P(„Das Ergebnis des 1. Wurfs ist 4 oder 5“ und „Die Augensumme ist größer als 9“) = P{(4;6), (5;5), (5;6)}

P{(4;6), (5;5), (5;6)} = P(B∩C) = 3/36 = 1/12

B = {(4; 1), (4;2), ..... (4;6), (5;1), (5;2),....... (5;6) } sei mit P(B) = 12/36 = 1/3 eingetreten.

{(4;6), (5;5), (5;6)} ist das Ereignis C im Rahmen von B. Es ist die Schnittmenge von B mit C.

Somit ist die Wahrscheinlichkeit P_B(C) (C innerhalb von B) = 3/12 = 1/4.

1/4 ist die Wahrscheinlichkeit von C unter der Bedingung: „B ist eingetreten“.

P_B(C) = 1/4

P(C∩B) = 3/36 = 1/12 = (1/3)· (1/4) = P(B) · P_B(C) ≠ P(B) · P(C)

P(B) · P(C) = 1/18

Zufallsvariable und Erwartungswert

Den Ereignissen von Zufallsexperimenten kann man eine Variable x zuordnen, deren Wert vom Ereignis abhängig ist. x ist demnach eine Funktion des Ereignisses. Beim Würfelspiel kann vereinbart werden, dass x für einen Gewinn steht, wenn ein Spieler eine 6 geworfen hat und andernfalls für einen Verlust. Der zu erwartende Gewinn bzw. Verlust ( Erwartungswert) ist gleich der Summe der Produkte P(x)· x. P(x) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis x.

Wir stellen uns vor, zu einem Würfelspiel seien folgende Regeln vereinbart worden:

Beim Wurf einer „6“ erhält der Spieler 5€ als Gewinn, andernfalls muss er 1,1 € in eine Spielkasse werfen.

Wie groß ist seine Gewinnerwartung ?

Nach n Spielen habe der Spieler k-mal die 6 geworfen und hierbei den Gewinn  k·5 – (n-k)· 1,1 erzielt. Der mittlere Gewinn nach diesen Spielen beträgt somit  [k·5 – (n-k)· 1,1] / n   =   k/n · 5 + (n-k)/n · (-1,1). k/n ist die relative Häufigkeit h(5) eines Gewinns von 5 €, und (n-k)/n ist die relative Häufigkeit h(-1,1) eines Verlusts von 1,1 €.

Für den mittleren Gewinn kann geschrieben werden: G = h(5) · 5 + h(-1,1) · (-1,1)

Mit wachsendem n strebt h(5) gegen P(5) und h(-1,1) gegen P(-1,1). Der nach den Wahrscheinlichkeiten P(5) und P(-1,1) zu erwartende mittlere Gewinn nach sehr vielen Spielen ist Σ P(x)· x = P(5) ·5 + P(-1,1) · (-1,1) = 1/6 · 5 + 5/6 · (-1,1) = - 1/12 € . Der Verlust beträgt somit nach n = 1000 Spielen 1000/12 ≈ 83€.