Die Verteilung zufälliger Fehler als Binomialverteilung m! / (k! ·(m-k)!)]·p^k ·(1- p)^(m-k)

1. Die Binomialverteilung

Aus einem Beutel mit 30 weißen und 70 roten Kugeln wird ein Kugel gegriffen und nach Notieren der gezogenen Farbe mit r oder w wieder zurückgelegt. Dies geschieht 10 mal hintereinander. Als Ergebnis dieses Vorgangs liegt dann eine Reihe wie z.B. r r w r w w r r r w vor.

Es stellt sich die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wie in diesem Fall 4 weiße und 6 rote Kugeln aus dem Beutel gezogen werden ?

Wichtige Begriffe und Grundgesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (anklicken !)

Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel ist p = 3/10, die Gegenwahrscheinlichkeit q = 1-p zur roten Kugel ist 7/10 .

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine bestimmte Reihenfolge wie „r r w r w w r r r w“ einstellt ist p⁴ · q⁶ . Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 weiße und 6 rote Kugeln gezogen werden, ist erheblich größer, denn es sind j = 10! / (4! · 6!) = 10! / (4! · (10 - 4)!) verschiedene Reihenfolgen von 4 weißen und 6 roten Kugeln möglich sind.

Für die Wahrscheinlichkeit w, k weiße und m - k rote Kugeln zu ziehen, gilt:

w = [m! / [k! · (m - k)!]) ] · p^k · (1 - p)^(m-k).

p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel gezogen wird.

Für (m! / [k! · (m - k)!]) wird geschrieben.

Sprich k aus m oder m über k .

Das Diagramm (Binomialverteilung) in der Abb. 1 zeigt die Wahrscheinlichkeiten zu verschiedenen k für den Fall, dass m=14 Kugeln gezogen werden und Rot und Weiß gleich wahrscheinlich sind (m =14, p = q = 0,5).

Es wird mit „n=20;p=0,5;m=14;x=k; z=m!/(k!*(m-k)!)*p^m; k=k+1; l=x“ in sim.html erzeugt ( p^m = p^k·q^(m-k), p = q , x=k) .

Abb. 1

Wird das obige Programm durch y=0,21*exp(-0,135*(x-7)^2) ergänzt, dann erscheint nach der Ausführung des erweiterten Programms noch der Graph (rot) der Funktion y=a · e^{-b*(x-m/2)^2} (a = 0,21 und b = 0,135) (siehe Abb. 2). Er ist der Binomialverteilung angepasst worden .

Abb.2

Zur Ausführung des Programms

a steht für die Höhe des Diagramms und b ist maßgebend für die Breite. Nach den Ausführungen im Kapitel „Varianz und Standardabweichung“ gilt für den halben Abstand zwischen den Wendepunkten mit den x-Koordinaten x_W :

σ = √( 1/( 2 · b)), |x_W – m/2| = σ (siehe Abb.2).

σ² = 1/( 2 · b) → b = 0,5/ σ²

y = a·e^{-b·(x-m/2)^2} = a·e^{-0,5·[(x-m/2) / σ]^2}

a ist maßgebend für den Inhalt A der Fläche unter dem Graphen der Exponentialfunktion. Dieser Flächeninhalt gleicht dem Flächeninhalt aller in der Abb. 3 sichtbaren Rechtecke mit einer Längeneinheit als Breite. Der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks über x = k ist der Größe nach gleich der Wahrscheinlichkeit des zu k gehörenden Ereignisses. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, folgt: A muss den Wert 1 haben. Es wird vermutet, dass der Faktor a nach Kenntnis von A berechnet werden kann.

Abb. 3

Die Graphen in der Abb. 3 wurden mit dem folgenden Programm angelegt:

u=k+0,5; x=x+0,01; k=int(x);v=14!/(k!*(14-k)!)*0,5^14; y=0,21*exp(-0,135*(x-7)^2); l=x;

σ² = 1/( 2 · b) → σ₁₄ = 1,92

y = 0,21· exp(-0,5*((x-7) /1,92)^2)

Der Flächeninhalt A unter y= a·e^{-0,5·[(x-m/2) / σ]^2} unterscheidet sich nicht von dem unter y= a·e^{-0,5·[x / σ]^2}, denn m/2 bewirkt nur eine Verschiebung des Graphen entlang der x - Achse.

a·e^{-0,5·[x / σ]^2} · h ist der Flächeninhalt eines schmalen Rechtecks unter der Glockenkurve mit der Breite Δx = h . x ist die x-Koordinate eines die Grundseite des Rechtecks halbierenden Punktes.

Flächeninhalt A= a ·Σ e^{- 0,5·[x / σ]^2} · h = a · σ · Σ e^{- 0,5·[x / σ]^2} · h / σ,    x / σ = u,   h / σ = Δu

↓

A= a · σ · Σ e^{- 0,5· u^2} · Δu

Zur Berechnung von S = Σ e^{- 0,5· u^2} · Δu wird das Programm „n=10000; S=S+2*exp(-0,5*(u-0,00015)^2)*0,0003; u=u+0,0003;“ im Fenster des hier vorhandenen Rechenprogramms geschrieben.

Wie läuft die Rechnung ( mit Wiederholung) ab?

Das Intervall [0;3] wird gedanklich in Teile Δu = 0,0003 eingeteilt. Zu den Abschnitten werden die Produkte 2*exp(-b*(u+0,00015)^2)*0,0003 gebildet und summiert.

Anmerkung: u+0,00015: x - Koordinate der Mitte eines Intervalls der Länge 0,0003!

Mit dem Faktor 2 vor exp(-b*(x+0,00025)^2) werden die Werte zum Intervall [-3;0] mitgezählt.

Die Beschränkung auf das Intervall [0;3] ist angebracht, weil e^{- 0,5· u^2} für u > 3 kaum von 0 abweicht.

Ergebnis: Σ e^{- 0,5· u^2} · Δu = S = 2,507

A= a · σ · Σ e^{- 0,5· u^2} · Δu = 1 → a · σ · S = 1

a · σ = 1/2,507 → a = 1/( 2,507· σ)

a hängt der Größe nach von m ab. Diese Abhängigkeit soll nun auch experimentell untersucht werden. Es werden die Höchstwerte a von y=m!/(k!*(m-k)!)*0,5^m für m= 30, 40 und 50 über k = x = m/2 mit dem schon genannten Rechenprogramm bestimmt. In der nächsten Tabelle ist a zu den genannten Werten von m eingetragen.

Die Tabelle lässt folgenden Schluss zu: m·a² = 0,63   →   a = √ (0,63/m) = 1/√(1,587·m)

1,587 sieht nach 1/2· π aus.

Vermutlich gilt: a = 1/√(0,5· π·m)

Damit kann nach a · σ · 2,507 = 1 mit m auch 1/σ² berechnet werden.

1/σ²= 2,507² · a² = 2,507² / (0,5· π·m) = 4,0018 / m

Bei höherer Genauigkeit gilt vermutlich: 1/σ² = 4 / m

↓

y = a·e^{-0,5·[(x-m/2) / σ]^2} = (1/√(0,5· π·m))·e^{-(2/m)·(x-m/2)^2}

Mit dem folgenden Programm können die letzten Aussagen zu verschiedenen Werten m auf ihre Richtigkeit geprüft werden.

m=50;x=x+0,01;k=int(x); u=k; v=m!/(k!*(m-k)!)*0,5^m; y=1/wrz(0,5*pi*m)*exp(-2/m*(x-1/2*m)^2);l=x

Binomialverteilungen und die zu ihrer Beschreibung dienende Exponentialfunktionen werden damit zum Vergleich dargestellt. Für den Fall m = 50 erhält man die in der Abb. 4 sichtbaren Graphen.

Abb. 4

Wie muss die Funktion y = (1/√(0,5· π·m))·e^{-(2/m)·(x-m/2)^2} = (1/√(0,5· π·m))·e^{-(1/(m·0,5))·(x- 0,5·m)^2} geändert werden, wenn sie auch für p≠ 0,5 gelten soll.

p· (1-p), die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge, muss in die Funktion eingehen.. Die Änderung muss so sein, dass die geänderte Funktion für p = 0,5 mit der hier angegebenen Funktion übereinstimmt. Es liegt nahe, 0,5 durch 2· p· (1-p) zu ersetzen. Eine Prüfung auf Gültigkeit mit dem nachfolgenden Programm zeigt jedoch, dass diese Änderung einen Fehler hat (siehe Abb.5).

m=30; p=0,3; n =20; x=x+0,01; k=int(x); u=k; v=m!/(k!*(m-k)!)*p^k*(1-p)^(m-k); y= 1/wrz(2*p*(1-p)*pi*m)*exp(-1/(2*p*(1-p)*m)*(x-(2*p*(1-p))*m)^2); l=x

Die Form des Funktionsgraphen erscheint richtig, aber nicht die Lage. Der Graph muss nach links verschoben werden. Für die Verschiebung ist der im Programm unterstrichene Teil maßgebend. Wird statt 2*p*(1-p) nur p geschrieben, dann gelingt eine gute Anpassung (siehe Abb. 6).

m=30; p=0,3; n =20; x=x+0,01; k=int(x); u=k; v=m!/(k!*(m-k)!)*p^k*(1-p)^(m-k); y= 1/wrz(2*p*(1-p)*pi*m)*exp(-1/(2*p*(1-p)*m)*(x- p*m)^2); l=x

Demnach ist y = (1/√(2·p·(1-p)· π·m))·e^{-(1/(m·2·p·(1-p)))·(x- p·m)^2} die zur Binomialverteilung passende Exponentialfunktion.

Abb.5

Abb.6

2. Über die Verteilung von Messfehlern

Wir gehen davon aus, dass Messfehler f Summen aus m sehr kleinen mit der Wahrscheinlichkeit p = 0 ,5 auftretenden Fehlern fe und fe' sind. fe vergrößert einen Messwert und fe' verkleinert ihn (er ist negativ). f ist demnach gleich einer Summe aus fe und fe'. Bei vielen Messungen mit jeweils m Fehlern wird sich eine Binomialverteilung der fe und fe' einstellen.

Setzt sich ein Fehler f aus k Werten der Größe fe ( Mittelwert = j ) und m-k Werten der Größe fe' ( Mittelwert = -j ) zusammen, dann gilt:

f = j·k – (m-k)·j = 2 · j·k - m·j     →      f /(2·j) = k - m/2 = k – p·m

Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers f ist demnach W(f) = 1/√(p· π·m)·e^{-[1/(p·m)]·(k-p·m)^2} = 1/√(p· π·m)·e^{-[1/(p·m)]·[f/(2·j)]^2} . Die Fehler f mit gleichen k gehören zu einem Intervall der Breite 2·j, denn wenn sich k um 1 ändert, dann ändert sich der zugehörende Fehler f nach f = 2 · j·k - m·j  um 2·j.

W(f) = [1/√(p· π·m)]·e^{-[1/(p·m)]·[f / (2·j)]^2} ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Fehler f in ein Intervall der Breite 2·j fällt.

w(f) = [1/√(p· π·m)]·e^{-[1/(p·m)]·[f / ( 2·j )]^2} / ( 2·j) = [1/√(p· π·m · 4 · j² )]·e^{-[1/(p·m)]·[f / (2 · j )]^2} ist die zugehörende Wahrscheinlichkeitsdichte.