Aufgaben

1. Eine Holzkugel (Dichte ρ_H des Holzes = 0,7 g/cm³) mit dem Radius R = 10 cm schwimmt im Wasser.

Wie groß ist die Eintauchtiefe h ?

Abb. 1

Lösungen

Zu1.:

Das Volumen des  verdrängten Wassers ist gleich dem Volumen des im Wasser liegenden Kugelsegments  V = π · ( R· h² – (1/3) · h³ ).

Nach dem Prinzip des Archimedes ist die Gewichtskraft des verdrängten Wassers gleich der Gewichtskraft der Kugel.

→ π · ( R· h² – (1/3) · h³ ) · ρ_W · g = (4/3)· π · R³ · ρ_H · g

ρ_W: Dichte des Wassers = 1 g/cm³

→     R· h² – (1/3) · h³   = (4/3) · R³ ·ρ_H / ρ_W

→     R· h² – (1/3) · h³   = (4/3) · R³ · 0,7

h/cm = x;   R’ = R/cm

→  (4/3) · R’³ · 0,7 -  R’· x² + (1/3) · x³   = 0

→  4 · R’³ · 0,7 -  3 ·R’· x² +  x³   = 0

R’  = 10

2800 – 30 · x²  + x³ = 0

2800· x⁰ + 0 · x¹ – 30 · x²  + x³ = 0

Es handelt sich um eine Gleichung 3. Grades, die mit dem Unterprogramm „https://g-hoehne.de/Nullstellen.php kann.

Die Lösung der Gleichung ist auch durch Iteration mit dem folgenden Programm im Rechenfenster von https://g-hoehne.de/Rechner.html möglich. Als Anfangswert für x wird 1 empfohlen.

L =0,001;x = (2800/ (30*x - x^2) +x)/2; d = abs(x-a);a=x;n=x;

Auf „Mit Wiederholung“ einstellen !

Ergebnis: x = 12,734

Berechnung des Kugelvolumens und des Kugelsegmentvolumens