Volumen einer Kugel und eines Kugelsegments 

1. Kugelvolumen

Prinzip des Cavalieri:   Haben  zwei  Körper in gleicher Höhe inhaltsgleiche  Querschnittsflächen,  dann  haben sie gleiche Volumina.

Bilderserie zur Veranschaulichung dieses Prinzips.

Abb. 1

A₁: Inhalt der Ringfläche in der Höhe h                A₂: Inhalt der Kreisfläche in der Höhe h

A₁ = π · r² - π· h² = π · ( r² – h²)                  A₂ = π · r’² = π · ( r² – h² )

↓

  A₁ = A₂

Nach Cavalieri habe beide Körper gleiche Volumina. Für das Volumen V des Zylinders mit kegelförmiger Bohrung gilt:

V = π · r² · r – 1/3 · π · r² · r = 2/3 · π · r³  ( Höhe des Zylinders = r)

V gleicht dem Volumen einer Halbkugel mit dem Radius r.

Für das Volumen V_K der Vollkugel gilt demnach:      V_K = 4/3 · π· r³

2. Volumen eines Kugelsegments

Wird eine Kugel  durch einen ebenen Schnitt in zwei Kugelsegmente  geteilt (siehe Abb. 2).

Abb. 2

Nach dem Prinzip des Cavalieri erhält man einen Körper mit dem Volumen des oberen Segments, wenn man aus einem   Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h einen Kegelstumpf herausdreht (siehe Abb. 3).

Abb. 3

Volumen V_St des Kegelstumpfs:

V_St = 1/3 ·π · r² · r – 1/3 ·π · (r-h)² · (r-h) = 1/3 ·π · r³ -1/3 ·π · (r³ –h³ – 3 · r² · h + 3·r · h²)

Volumen des Kegels mit der Höhe r – Volumen des Kegels mit der Höhe r – h !

V_St = π · (1/3 · h³ + r² · h - r · h²)

Volumen V_Segment :

V_Segment = π ·  r² · h - π · (1/3 · h³ + r² · h - r · h²)  =   π · (r · h² - 1/3 · h³ )

Soll das untere Segment berechnet werden, dann muss h durch h’ ersetzt werden.