1.8 Der Logarithmus

Aufgabe:

Es soll die Lösung zu y = 2^x  (y = 5) gefunden werden.

Die Aufgabe wird durch Intervallschachtelung gelöst.

Wir bestimmen ein Intervall [b|c], in dem x liegt. Als ein solches Intervall kommt z.B. [1| 3] in Frage.

2¹ < 5 <  2³ , 5 = 2^x      →      1 < x < 3

Das Intervall um x soll nun schrittweise verkleinert werden.

Es wird der Mittelwert x = (b+c)/2  von b und c bestimmt. Ist 2^x > 5 (x ist zu groß), dann wird x als  rechte Intervallgrenze c genommen. Ist 2^x < 5 (x ist zu klein), dann wird x als linke Intervallgrenze b bestimmt. Dieser Vorgang wird 10000 mal wiederholt. Dabei wird der Bereich des Intervalls [b|c] < 0,0000001.

Die Intervallschachtelung  nach dem folgenden Programmzeile in der App. Rechner.php (Einstellung: „mit Wiederholung“) liefert den Wert x =  2,32192809488746 (rechte Intervallgrenze).

x=(b+c)/2; g= 2^x ;h= y-g; b=b*(1-sn(h))+x*sn(h); c=c*sn(h)+x*(1-sn(h))

Erläuterung: Für die Intervallschachtelung wurde die Funnktion sn() eingeführt.

Definition: x>0 → sn(x)=1, x=<0 → sn(x)=0.

Definition des Logarithmus:

Unter log_b (y) versteht man die Zahl, mit der b potenziert werden muss, wenn man y erhalten will.

Beispiele:

log₂ (8) = 3           →      2³  = 8

log₁₀ (100) = 2      →    10²  = 100

log₂ (64) = 6          →    2⁶  = 64

Für  log₁₀ (y) schreibt man lg(y) und für log_e(y) , den Logarithmus zur Basis e, nimmt man als Kurzform ln(y). ln(y) wird natürlicher Logarithmus von y genannt.