2.8 Einiges über Schwingungen

Im Kapitel 2.5 wurde darauf hingewiesen, dass einem an einer Spiralfeder auf und ab schwingenden Gegenstand G ein gleichförmig  kreisender  Zeiger   zugeordnet  werden  kann,  dessen  Spitze sich  immer auf der Höhe von G befindet.

#

Abb.1

Abb. 2

Die jeweilige Auslenkung (Elongation) können wir nun beschreiben mit y = A · sin(α). α ändert sich proportional zur Zeit t. Wird die Stoppuhr dann auf 0 gestellt, wenn der rotierende Zeiger in Richtung der x-Achse weist, dann ist  α / t  konstant. Dieses Verhältnis beschreibt den Winkel, den der Zeiger in einer Zeiteinheit durchläuft.

α / t heißt Winkelgeschwindigkeit ω des Zeigers.

α / t = ω     →       α = ω · t     →      y = A · sin( ω · t)

Wenn man die Stoppuhr erst dann auf 0 stellt, wenn der Zeiger einen Winkel φ mit der x-Achse bildet ( siehe Abb. 3) dann gilt:

y = A · sin( ω · t + φ)

Abb. 3

In der Abbildung 4 ist die Funktion y = A · sin( ω · t ) für verschiedene Werte von A, ω dargestellt.

Rot: A=3 cm, ω =1/s; Grün: A = 3cm; ω =2/s; Blau: A = 6cm; ω =2/s

Abb. 4

Der Graph der Sinusfunktion y = 3· sin(1· t) besteht aus einander gleichen Abschnitten mit der zeitlichen Länge 6,28 s. Solche  Abschnitte nennt man Perioden. Der Graph zu y = 3· sin( 2 · t) hat die Periodenlänge 3,14 s.  Die Verdopplung von ω bewirkt demnach eine Halbierung der Periodendauer T.

Während einer Periode dreht sich der rotierende Zeiger um den Winkel 2 · π ( Bogenmaß).

ω· T = 2 · π     →      T = 2· π /ω

Wie in Abb. 5 zu sehen ist, bewirkt der Summand φ eine Verschiebung der Sinuskurve parallel zur x-Achse.

Rot: y= 3 · sin(1*t); Grün: y= 3 · sin(1*t+ 1);

Abb. 5

Addition von Schwingungen unterschiedlicher Schwingungsdauer