Addition von Schwingungen unterschiedlicher Schwingungsdauer

Eine Schwingung ist nicht immer durch y = A · sin(ω · t) darstellbar. In Abb. 1 ist ein biegsamer Metallstab zu sehen, an dessen Ende drei schwingende Federpendel aufgehängt sind. ω₁  = 1/s, ω₂ = 2/s und ω₃ = 3/s seien die Winkelgeschwindigkeiten der drei Zeiger, die den Federpendeln zugeordnet werden können.

Unter der Einwirkung dieser drei Federn schwingt der Metallstab nach einer Funktion der Form:

y = a₁ · sin(1 · t + φ₁) + a₂ · sin(2 · t + φ₂ ) + a₃ · sin(3 · t + φ₃ )

Abb. 1

In der Abb. 2 ist diese Funktion für a₁ = a₂ = a₃ = 3 und φ₁ = φ₂ = φ₃ = 0 dargestellt (rote Kurve). Die Funktion ist periodisch, denn die Periodendauer von 0,5 · sin(1 · t) ist ein ganzzahliges Vielfaches der zu 0,5 · sin(2 · t) und 0,5 · sin(3 · t) gehörenden Periodendauern. Die Periodendauer von y = a₁ · sin(1 · t ) + a₂ · sin(2 · t ) + a₃ · sin(3 · t ) gleicht der Periodendauer von y= a₁·sin(1 · t ) (grün).

Abb. 2

Jeder periodischen Kurve  kann eine Funktionsgleichung 

y = a₁ · sin(ω · t + φ₁) + a₂ · sin(2 · ω · t + φ₂) + a₃ · sin(3 · ω · t + φ₃ ) + a₃ · sin(4 · ω · t + φ₃ ) …… zugeordnet werden.

Die zur Bestimmung dieser Funktionsgleichung entwickelte Methode heißt Fourieranalyse.

Durchführung einer Fourieranalyse (anklicken!)

Addition von Schwingungen gleicher Schwingungsdauer

Haben die in der Abb. 2 angedeuteten Federpendel gleiche Schwingungsdauern aber unterschiedliche Amplituden a₁ , a₂ , a₃ dann gilt für die Schwingungsweite y des Metallstabs:

y = a₁ · sin(ω · t ) + a₂ · sin( ω · t ) + a₃ · sin( ω · t )

ω ist die Winkelgeschwindigkeit der zu den Federpendeln passenden  Zeigern.

Für die Summe a₁ · sin( ω · t ) + a₂ · sin( ω · t ) + a₃ · sin( ω · t ) kann geschrieben werden:

y = A · sin( ω · t + φ )

A und φ sind konstante Werte, die anhand von a₁ , a₂ und a₃ berechnet werden können.

Zum Beweis der Behauptung muss gezeigt werden, dass für die Summe a₁ · sin(ω · t + φ₁) + a₂ · sin( ω · t + φ₂ ) zweier Sinusterme B ·sin( ω ·t + β) geschrieben werden kann.

Abb. 3

In der Abb. 3 sehen wir links die den Schwingungen  a₁ · sin(ω · t + φ₁) und a₂ · sin(w · t + φ₂ ) zugeordneten Zeiger. Wird der grüne Zeiger an den roten Zeiger so angefügt (addiert), wie dies im rechten Teil der Abb. 3 zu sehen ist, dann ist der y-Wert von der Spitze des verschobenen grünen Pfeils gleich der Summe  a₁·sin(ω·t+φ₁)+a₂·sin(ω·t+φ₂) . Wenn der rote und grüne Pfeil gleichförmig mit ω rotieren, dann rotiert der blaue Pfeil, dessen Spitze den y-Wert a₁·sin(ω·t+φ₁)+a₂·sin(ω·t+φ₂) hat, auch gleichförmig mit ω.

Vorführung

Abb. 8

Nach dem Kosinussatz gilt:    A² = a₁² + a₂² – 2· a₁ · a₂ · cos[ 180° - (φ₂ - φ₁)]

cos(180° - α)  =  - cos (α)

A² = a₁² + a₂² + 2· a₁ · a₂ · cos(φ₂ - φ₁)

ε und β wird errechnet nach:    tan(ε) = a₁ · sin(φ₂ - φ₁) / [a₂ + a₁ · cos(φ₂ – φ₁)]

Verständlich wird dies anhand des Dreiecks oberhalb von a₁, in welches der rote Pfeil zeigt.

β = φ₂ - ε