2.5  Einführung von Sinus, Kosinus und Tangens

Einem an einer Spiralfeder  auf und ab schwingenden Gegenstand G kann ein gleichförmig  kreisender  Zeiger   zugeordnet  werden,  dessen  Spitze sich  immer auf der Höhe von G befindet. 

Abb. 1

Diese Tatsache  ermöglicht die  Bestimmung des Körperstandortes zu bestimmten Zeitpunkten. Wenn z.B. ein Körper mit der Schwingungsweite  A = 10 cm und der Schwingungszeit T (Dauer einer Schwingung) zum Zeitpunkt t = 0 nach oben durch die Ruhelage ( x-Achse) schwingt,  dann  kann  der Standort   1/10 T später  auf folgende Weise bestimmt werden (siehe Abb. 1): Ein Zeiger Z der Länge A wird so in das Koordinatensystem eingezeichnet, dass er mit der x-Achse einen 36°-Winkel bildet ( 36° = 360°/10). Mit dem y-Wert y_z der Zeigerspitze erhält man die Auslenkung des schwingenden Körpers.

Zunächst kann die Auslenkung y_z nur anhand einer Zeichnung bestimmt werden. Eine  Berechnungsmethode   erscheint   wünschenswert.   Die   Abhängigkeit   der   Auslenkung   y_z  vom Radius r  und dem Winkel α soll deshalb untersucht werden. Nach dem  Strahlensatz  gilt bei konstantem Winkel:   

y_z  ~ r  →     y_z /r = Konstante k.    y_z /r  ist demnach ausschließlich vom Winkel  α abhängig.

Dies nur von α abhängige Verhältnis y_z / r nennen wir sin α (sprich Sinus von α ).

y_z /r = sin α

Nach Anklicken dieser Zeile wird die Abhängigkeit des Terms sin(α) von α graphisch dargestellt.

Eine Längeneinheit hat der für Darstellung gewählte Zeiger . 

Folglich ist sin(α) = y_z / r = y_z / 1 = y_z .

y_z ist der y-Wert der Zeigerspitze.

Für den ebenfalls durch α festgelegten Quotienten x_z /r  schreiben wir cos α (sprich Kosinus von α).

x_z /r = cos α  

Nach Anklicken dieser Zeile wird die Abhängigkeit des Terms cos(α) von α graphisch dargestellt.

Die der Kreisbewegung zugeordnete x-Achse ist bei dieser Vorführung nach oben gerichtet.

Im Fall r = eine Längeneinheit gilt :  cos(α) = x_z / r = x_z / 1 = x_z

x_z ist in diesem Fall der x-Wert der Zeigerspitze.

Beim Vergleich der Darstellungen zu sin α und cos α fällt auf:      cos(α-90°) = sin(α)      →   cos(α) = sin(α+90°)

Der Quotient  y_z / x_z trägt den Namen tan α ( sprich Tangens von α )

y_z /x_z = tan α  

y_z /r = sin α; x_z /r = cos α   →    sin α / cos α = tan α

In Abb. 2 ist erkennbar, wie am Einheitskreis ( Kreis mit r = eine Längeneinheit) tan α zu einem Winkel α  bestimmt werden kann.

Abb. 2

Nach Anklicken dieser Zeile wird tan(α) in Abhängigkeit von α graphisch dargestellt.

Berechnung von sin- cos- und tan- Werten