1.9.6 Das Frequenzspektrum einer Schwingung

Die Messung einer Frequenz f  z.B. die einer schwingenden Maschine könnte wie folgt geschehen:

Eine Blattfeder mit einer auf ihr verschiebbaren schwingenden Masse G  ( siehe Abb. 1) wird an M geklemmt. Hiernach beginnt sie  zu schwingen. G wird  solange auf der Blattfeder hin- und hergeschoben, bis die Amplitude ein Maximum erreicht. Die Eigenfrequenz der Blattfeder stimmt dann mit der Erregerfrequenz überein. Die Blattfeder ist so skaliert, dass an der  augenblicklichen Stelle  von G  die Frequenz ablesbar ist. Hier muss angemerkt werden, dass die Federkonstante und somit auch die Eigenfrequenz der Blattfeder mit kleiner werdendem Abstand der Masse G von der Einspannstelle der Feder größer wird .

Abb. 1

 

Mit dem nachfolgenden Programm soll nun untersucht werden, wie sich die Elongation der Blattfeder bei Veränderung von D ändert. Hierbei wird vorausgesetzt, dass sich D nach D = j·t ( j = Konstante) mit der Zeit ändert und dass neben der Federkraft noch eine  der Elongation proportionale Reibungskraft FR = k· sgn(v)*abs(x)  (abs(x) = |x|) wirkt. Außerdem wird davon ausgegangen, dass die Maschine eine Kraft nach F = 0,01· [sin(2·π·t) 1 Hz + sin(4· π·t) 2 Hz + sin(6· π ·t) 3 Hz  + sin(8 · π · t) 4 Hz  ] N an die schwingende Masse überträgt. Das Programm erzeugt das in der Abb. 2 sichtbare Diagramm. Es zeigt 4 Resonanzstellen an bei 1Hz, 2 Hz, 3 Hz und 4 Hz.

 

Anfangsbedingungen: |x|t|i|v|m|j|h|k|=|0|0|0.02|0|0.1|0.2|0.02|1|

 

wiederhole bis f>5

a=(-(j*t)*x-k*sgn(v)*abs(x)+ 0.01*(sin(2*pi*t)+sin(4*pi*t)+sin(6*pi*t)+sin(8*pi*t)))/m

b=a+(a-A)/2

x=0.5*b*h*h+v*h+x

v=b*h +v

A=a

f=wrz(j*t/m)/2/pi

h=i/f

Für das Zeitintervall h wird umgekehrte Proportionalität zur Frequenz f vereinbart

_f;x;;1

t=t+h

zurück

 

Ausführbar nach „ 204“ und „START“ .

 

Abb. 2

 

Nun wird die Kraft  F = 0.01 · [sin(2·π·t) 1 Hz +sin(4· π·t) 2 Hz + sin(6· π ·t) 3 Hz  + sin(8 · π · t) 4 Hz  ] N durch  F=0,05·[frac(t) – 0,5)] N (siehe Abb. 3) ersetzt ( frac(x) steht für den Nachkommaanteil von x ). Das Programm erzeugt hiernach das in der Abb. 4 sichtbare Diagramm.

Abb. 3

 

|x|t|i|v|m|j|h|k|=|0|0|0.02|0|0.1|0.2|0.02|1|

 

wiederhole bis f>5.5

a=(-(j*t)*x-k*sgn(v)*abs(x)+ 0.05*(frac(t)-0.5))/m

b=a+(a-A)/2

x=0.5*b*h*h+v*h+x

v=b*h +v

A=a

f=wrz(j*t/m)/2/pi

h=i/f

_f;x;;1

t=t+h

zurück

 

Ausführbar nach „ 205“ und „START“

Abb. 4

0,05·[frac(t) – 0,5)] N verhält sich wie eine Summe aus Sinustermen.

Vermutung:

Jede periodische Funktion kann durch eine Summe von Sinustermen und einer Konstanten dargestellt werden.

 

Beispiel: F = 0,05·[frac(t) – 0,5)] N = K + F01 ·sin(ω·t+α1) + F02 ·sin(2·ω·t+α2) + F03 ·sin(3·ω·t+α3)  +…..

 

Die Methode zur Auffindung dieser Sinusterme und der zugehörenden Konstanten heißt „Fourieranalyse“ .

 

Wenn wir die Frequenz zum 1. Sinusterm f nennen, dann ist die Frequenz des  2. Terms   2·f    und die des 3. Terms   3·f. Die Schwingung mit f heißt Grundschwingung, die anderen 1. und 2. Oberschwingung usw..

 

Bei der Durchführung der Fourieranalyse mit dem Programm „Mathe.-Physik“ ist wie folgt vorzugehen:

 

Das nachfolgende Säulendiagramm ist das Ergebnis einer Fourieranalyse an F=0,05·[frac(t) – 0,5)] N . Die Höhen der Säulen sind den Werten von F01, F02 … proportional. So ist hier zu sehen, dass F02 = 0.5· F01 ist.

Abb. 5

 

In der Abb. 6  ist die Summe aus den ersten 60 Teilschwingungen grafisch dargestellt.


Abb. 6

 

0,05*[frac(t) – 0,5)]  = 0.00029+0.0158 * sin( 6.28 * 1 * t  + 3.09 )+0.00787 * sin( 6.28 * 2 * t  + 3.053 )+ 0.00525 * sin( 6.28 * 3 * t  + 3.0083 )+ 0.00389 * sin( 6.283 * 4 * t  + 2.98 )+......