1.7.1 Schiefer Wurf unter Berücksichtigung der Luftreibung

Unter 1.6.4.3 wurde ein Gesetz zur Reibungskraft in Luft behandelt. Dies dort aufgestellte Reibungsgesetz muss berücksichtigt werden, wenn es darum geht, die Bahn einer Kanonenkugel zu berechnen. Die Bewegung einer solchen Kugel weicht infolge der Luftreibung erheblich von einem Parabelbogen ab.

Welche Kraft wirkt auf die Kugel ?

Die der Geschwindigkeit entgegen gerichtete Reibungskraft F_R ist v² proportional.

F_R/v² = r (r: Reibungskoeffizient); F_R = r·v² ( |v| = v ; |F_R| = F_R )

Wie die Komponenten der Reibungskraft F_R zu berechnen sind, erkennt man an der Abb.1. Zu sehen sind zwei ähnliche Dreiecke aus Geschwindigkeits- und Kraftvektoren.

_Abb.1

-F_R1/ |F_R| = v₁ /|v| → F_R1 = - (v₁ /|v|) · |F_R|

- F_R2/ |F_R| = v₂ /|v| → F_R2 = - (v₂ /|v|) · |F_R|

|F_R| = r·v², v = |v|  →  F_R1 = - v₁ ·v · r ; F_R2  = - v₂ ·v · r

Neben der Reibungskraft wirkt noch die Gewichtskraft m·g.

F₁ = - v₁· v · r und F₂ = - g· m - v₂ · v · r sind die x- und y-Koordinaten der auf die Kugel wirkenden Kraft. 

Die Bewegungszeit wird in sehr kleine Zeitabschnitte  Δt = h zerlegt. Ein h ist so klein gewählt, dass innerhalb dieses Abschnitts die Kraft als konstant angesehen werden kann. Mit den für konstante Kraft geltenden Bewegungsgleichungen wird der Ort- und die Geschwindigkeit nach dem ersten Zeitabschnitt h berechnet, wobei vom anfangs bekannten Ort und der anfangs bekannten Geschwindigkeit ausgegangen wird. Nach dieser Rechnung sind die Anfangswerte zu Beginn des zweiten Abschnitts bekannt. Es wird der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des dritten Abschnitts berechnet usw..

a₁ = F₁/m;   v₁ = a₁·h + u₁;   x = 0,5 · a₁ · h² + u₁ · h + x₀

a₂ =  F₂/m;  v₂ = a₂·h + u₂;   y  =  0,5 · a₂·h² + u₂·h + y₀

a₁ , a₂ (a ; A) Beschleunigungen in x- und y-Richtung;      u₁, u₂ :  Anfangsgeschwindigkeiten;        v₁, v₂ (v ;V) :  Geschwindigkeiten nach h

x₀, y₀:  Koordinaten des Ortes vor h;       x, y :  Ortskoordinaten nach h

Zur Berechnung der Bahn mit dem hier vorliegenden Online- Grafikprogramms wird als Anfangswert für v₁ /(m/s) = c und v₂ /(m/s) = d der Wert 15, für den Reibungskoeffienten r / (kg/ m) der Wert 0,1 und für die Masse m/(kg) der Wert 1 eingetragen. Das Programm liefert mit der nachfolgenden Zeile die Wurfbahn in der Abb.2.

h=0,01; m=1; i=wrz(c^2+d^2); f=-c*i*r; g=-9,81*m-d*i*r; a=0,5*j*(f/m-o)+f/m; b=0,5*j*(g/m-p)+g/m; x=0,5*a*h^2+c*h+x; y=0,5*b*h^2+d*h+y; c=c+a*h; d=d+b*h; j=1; o=a; p=b; n=y;t=t+h

Mit n = y wird das Programm abgebrochen, sowie y < 0 ist, denn dann ist l = 0 größer als n.

Abb.2