1.7.2 Fallbewegung in einer Flüssigkeit
Wir stellen uns eine in Öl fallende Eisenkugel vor (Fallbeginn zum Zeitpunkt t = 0). Der Gewichtskraft m · g wirkt eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft FR = k ·v entgegen.. Die Geschwindigkeit wächst solange bis die Gewichtskraft gleich der Reibungskraft ist.
Wie ändert sich die Geschwindigkeit v mit der Zeit ?
FR /v = k (Konstante) → FR = k·v
Für die Beschleunigung a gilt demnach: m· a = m· g – k · v → a = g – k· v/m
Die Diagramme in der Abb. 1 zur zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit und des zurückgelegten Weges der Kugel wurden mit der folgenden Zeile im Rechenfenster des hier vorhandenen Online-Grafikprogramms erhalten:
k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; x=x+h; l=x; y=c; w=c*h+w; z= m*9,81/k*x;
c= v , x=t !
Abb.1
Das rote Diagramm ist das v-t-Diagramm (y-t-Diagramm), das weiße das zugehörende s-t-Diagramm (w-t-Diagramm).
↓
Hätte die Bewegung mit der Endgeschwindigkeit begonnen, dann wäre sie gleichförmig nach dem grünen Diagramm (z-t-Diagramm) verlaufen.
Das Verhältnis v/ vEnde = v·k /(m· g) ist ein Wert f der nach dem Beginn der Bewegung von 0 auf 1 ansteigt. Für die Geschwindigkeit v kann v = m·g/k ·f geschrieben werden. Der Term (1 - e – j ·t ) mit einer noch unbekannten Konstanten j kommt als Faktor f in Frage. Je größer j ist, desto schneller wird die Endgeschwindigkeit erreicht. Es ist davon auszugehen, dass eine große Reibungskraft und eine geringe Gewichtskraft in kurzer Zeit zur Endgeschwindigkeit führen.
Vermutung: j = k/m → v = m · g/k · (1- e- (k/m) · t)
Mit der folgenden Zeile wird diese Vermutung bestätigt. Die Diagramme zu y und v stimmen überein.
k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; x=x+h; l=x; y=c; w=c*h+w; z= m*9,81/k*x; v=m*9,81/k*(1-exp(-k/m*x)); u=x
Hätte der Körper schon zu Anfang die Höchstgeschwindigkeit m ·g/k, dann wäre s = m · (g/k) ·t . Für s gilt jedoch s < m·(g/k)·t. Die mit der senkrechten Strecke in der bei 2 Sekunden in der Abb. 1 angedeutete Differenz d zwischen m·(g/k)·t und dem wahren Weg s wird sich vermutlich nach dem Bewegungsbeginn ähnlich wie die Geschwindigkeit zu einem Maximalwert entwickeln .
Vermutung : m · (g/ k) · t – s = r · (1 - e – k · t/m )
Der unbekannte Faktor r muss von m, g und k abhängen und die Einheit eines Weges haben. Vermutlich ist r = m2 / k2 · g , denn m2/k2 · g hat die Einheit eines Weges.
→ s = m · g/ k · t - m2 / k2 · g · (1 - e – k · t/m )
Zur Prüfung dieser Annahme wird das Grafikprogramm mit „k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; x=x+h; l=x; y=c; w=c*h+w; z=m*9,81/k*x; v=m*9,81/k*x-m^2/k^2*9,81*(1-exp(-k*x/m)); u=x“ gestartet. Dabei wird das ursprüngliche, blaue Weg-Zeit-Diagramm überzeichnet.