1.12.2 Das Drehmoment

Nach der Entdeckung des Impulssatzes wurde d(m·v) /dt als Maß für eine Einwirkung von außen definiert. Nun kommt auch dL/ dt als ein solches Maß in Frage. Unter einer äußeren Einwirkung erfährt ein Teilchen eine Drehimpulsänderung.

Für dL/dt gilt: dL/dt = r x F

r x F = M heißt Drehmomentvektor M

r ist der Verbindungsvektor vom Drehpunkt D zum Angriffspunkt der Kraft F. Wenn F eine Drehung verursacht, dann zeigt M die Richtung der Drehachse (siehe Abb.1).

Abb. 1

|M| = |F| · Hebelarm H (siehe Abb. 1)

Der Hebelarm H ist der Abstand des Drehpunkts vom Kraftpfeil oder dessen Verlängerung. |F| · H und |M| stehen für den Flächeninhalt des von r und F aufgespannten Parallelogramms. Liegt ein System S aus vielen Massepunkten 1, 2, 3….vor, z.B. eine rotierende Scheibe, dann nennt man die Summe der zu den Massepunkten gehörenden Drehimpulse den Gesamtdrehimpuls L_g des Systems.

L_g = L₁ + L₂ + L₃ + ……

dLg/dt =r_a x F_a + r_b x F_b + r_c x F_c ….. Dies ist Summe der auf das System wirkenden Drehmomente (siehe Abb.2).

Abb. 2

Beweis:

Ein abgeschlossenes System bestehe aus den Teilen K₁ bis K₂₀ mit dem Gesamtdrehimpuls L und drei weiteren voneinander unabhängigen Teilen K_a, K_b und K_c, die mit den Kräften F_a , F_b und F_c auf K₁ bis K₂₀ einwirken . Das gesamte System hat den konstanten Drehimpuls L_g.

dL_g /dt = ( r₁ x F₁ + r₂ x F₂ + r₃ x F₃ ….. ) + r_a x (-F_a) + r_b x (-F_b)+ r_c x (-F_c) = 0

(-F_a) , (-F_b), (-F_c) sind die auf K_a , K_b und K_c wirkenden Kräfte.

dL_g /dt = dL/dt + r_a x (-F_a) + r_b x (-F_b)+ r_c x (-F_c)= 0

↓

dL/dt = r_a x F_a + r_b x F_b + r_c x F_c = M_g (Gesamtdrehmoment)

↓

Eine Drehimpulskomponente L_k bleibt konstant, wenn die Komponente des Drehmoments in Richtung von L_k gleich 0 ist

Anwendungsbeispiele:

Registrierung einer Flüssigkeitsschwingung in einem U-Rohr mit Hilfe der Experimentierwippe