Über das Auslaufen einer Badewanne

Eine quaderförmige Badewanne mit dem Querschnitt A = 0,8 m² läuft durch eine Öffnung am Boden mit dem Querschnitt B aus.

B = 10 cm² = 0,001 m², anfängliches Wasservolumen = 0,15 m³.

Abb.1

1. Mit welcher Geschwindigkeit tritt das Wasser aus dieser Öffnung ?

2. In welcher Zeit wird die Badewanne geleert ?

Diese beiden Fragen können mit Hilfe des Energiesatzes beantwortet werden. Auf die Frage 1 ist schnell eine Antwort gefunden. Wenn eine kleine Wassermenge der Masse m’ ausläuft, dann fehlt sie an der Oberfläche des Wassers. Die potentielle Energie des Wassers nimmt um m’·g · x ab (x = Höhe des Wasserspiegels). Das unten austretende Wasser hat die kinetische Energie m’ ·v² /2 . Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:

m’ ·v² /2 = m’ · g · x → v = √( 2 · g · x )

x ·A = V  → x = V/A, v = √( 2 · g · x)  → v = √( 2 · g · V/A )

Die kinetische Energie des Wassers infolge der Sinkgeschwindigkeit ist vernachlässigbar klein. Aus dem Wasservolumen V und dem Querschnitt A der Badewanne kann x errechnet werden. Nach einem kleinen Zeitabschnitt Δt = h hat das Volumen der Wassers um v · Δt ·B abgenommen (siehe Abb. 2).

Für das Volumen V' nach Δt gilt: V' = V - √( 2 · g · V/A ) · Δt ·B.

Abb.2

Nach Eintrag von y = y - wrz( 2 * 9,81 * y/0,8 ) * h*0,001 ; x=x+h;l=x; in das Rechenfenster des hier vorhandenen Grafikrechenprogramms wird das Volumen in Abhängigkeit von der Zeit angezeigt (siehe Abb. 3).

y=V, h=Δt , x=t

Als Anfangswert von y muss 0,15 eingetragen werden.

Mit y = y - wrz( 2 * 9,81 * y/0,8 ) * h*0,001 ; x=x+h;l=x; w=6,25E-6*(x-155)^2 wird außerdem noch eine Parabel dem Auslaufdiagramm angepasst (siehe Abb. 4).

In Abb. 3 ist zu sehen, dass eine Wanne mit einem Querschnitt A =0,8 m² , welche anfangs 0,15 m³  Wasser enthält, in ca. T =155 s durch ein Loch mit dem Querschnitt B = 10 cm² leer läuft.

Abb.3

Abb. 4

Die Parabel in Abb. 3 wird durch die Funktionsgleichung V= f·(t-T)²

T: Entleerungszeit

Beweis: V_{nach Δt} - V_{vor Δt} = ΔV   ≈   – √( 2 · g · V_vorΔt / A ) · B · Δt

dV/dt = – √( 2 · g · V / A ) · B   →   dt/dV = - √(A/( 2 · g· B²)) · V ^-½

Auf der Suche nach einer Funktion t(V) mit dt/dV =-√(A/( 2 · g· B²)) · V ^-½ finden wir:  t = - √(A/( 2 · g· B²)) · 2 ·V ^½ + Konstante C

Bei V = 0 ist t = T . Folglich gilt: C = T

t = - √(A/( 2 · g· B²)) · 2 ·V ^½ + T   →   (t-T)² = A/( 2 · g· B² ) · 4·V

V = (t-T)² · g· B²/ (A · 2)   →   V = f · (t-T)², f = g· B²/ (A · 2)

V₀: Volumen zum Zeitpunkt t=0

V₀ = f · T²   →   T = √(V₀ / f) = [  A ·V₀ · 2 / g )]^½ / B

Für den hier beschriebenen Fall gilt: f =  g· B²/ (A · 2)  =  6,131· 10^-6 m³/s²    →    T = 156 s

Anmerkung: Bei der Herleitung wird vorausgesetzt, dass zum  Zeitpunkt t = 0 das Wasser schon ausfließt. Wäre die Voraussetzung nicht erfüllt, dann müsste die Sinkgeschwindigkeit bei t = 0 den Wert 0 haben und das zugehörende Wasserstandsdiagramm dementsprechend mit der Neigung 0 beginnen.

In der Abb. 5 ist ein Messdiagramm  zu sehen, welches von einem Schüler (Adalbert-Stifter-Gymnasium in Passau)  im Rahmen einer Facharbeit mit Hilfe der Experimentierwippe aufgenommen wurde. Der Schüler ließ ein an der Schmalseite der Experimentierwippe hängendes,  mit  Wasser gefülltes zylindrisches Gefäß ( Durchmesser = 8 cm) mit einem Loch im Gefäßbodenboden (Durchmesser 3,2 mm) leer laufen. Die Wippe diente in diesem Fall als elektrische Waage. Dem Diagramm ist eine Parabel nach V = f(t) = 0,067 ml/s² ·(88 s – t)² angepasst.

Abb.5

Am Diagramm sind 88 s als Entleerungszeit ablesbar. T = [  A ·V₀ · 2 / g )]^½ / B  liefert unter den angegebenen Bedingungen  den Wert 88,7 s als Entleerungszeit.