Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Es sei folgende Aufgabe zu lösen:
Ein Körper K werde entlang des Verschiebungspfeils s = {s1 ; s2 ; s3 } unter der Kraft F = {F1 ; F2 ; F3 } verschoben.
Wie groß ist die hierbei verrichtete Arbeit W ?
Da W durch den Anfang und das Ende des Verschiebung bestimmt ist, so ist es zu seiner Berechnung gleichgültig, ob man die Verschiebung entlang des Vektors s vornimmt, oder schrittweise entlang der Komponenten von s durchführt . So kann man z.B. K zunächst mit F1 entlang s1 , dann mit F2 entlang s2 und schließlich mit F3 entlang s3 verschieben.
Abb. 1
W = F1 · s1 + F2 · s2 + F3 · s3
W = |F|· |s| · cos α
↓
|F|· |s| · cos α = F1 · s1 + F2 · s2 + F3 · s3
Diese Gleichung ist richtig !
F1 · s1 + F2 · s2 + F3 · s3 ist das Skalarprodukt der Vektoren F und s. Es ist bekanntlich gleich dem Produkt der Vektorbeträge und dem Kosinus des von s und F eingeschlossenen Winkels.