3.5.1   Die Transformation von E und B

Es wurde bereits festgestellt, dass ein bewegter Beobachter ein elektromagnetisches Feld anders beschreibt, als ein ruhender Beobachter. Hier sollen nun Transformationsgleichungen hergeleitet werden, welche die Berechnung der Feldstärken im einem System ermöglichen, wenn diese in einem anderen dazu gleichförmig bewegten System bekannt sind.  

Wir stellen uns zu diesem Zweck zwei Systeme S und S' vor, die sich mit der Relativgeschwindigkeit v voneinander entfernen. In S herrsche ein elektromagnetisches Feld mit den Feldstärken E und B. Auf eine in S' ruhende Ladung wirkt von S aus gesehen die Kraft F. F setzt sich aus der elektrischen Kraft und der Lorentzkraft zusammen.

In S' wird an q die Kraft F' gemessen. Für die Kraft gelten die Transformationsgleichungen mit k² = 1 – v² / c²: 

In S' greift F' an einer ruhenden Ladung an und wird deshalb als elektrische Kraft gewertet. Für die Feldstärke E' gelten demgemäss die Gleichungen 1 – 3:

Werden die Koordinatensysteme 180° um die z - Achsen gedreht, dann verhält sich S zu S' wie zuvor S' zu S. Wir können unter diesen Bedingungen nach dem Relativitätsprinzip in den Transformationssgleichungen 1-3 die Feldstärken von S' mit den entsprechenden des Systems S vertauschen (siehe 1. Spalte der nachfolgenden Tabelle) .Werden die Koordinatenachsen wieder in ihre ursprüngliche Lage gebracht (Drehung um die z-Achse), dann müssen in den  Gleichungen der ersten Spalte die Vorzeichen der x- und y-Komponenten  von E und B geändert werden. So erhält man die Gleichungen 4 – 6:

Aus den Transformationsgleichungen 1-6 können leicht Transformationsgleichungen für B hergeleitet werden. Ersetzen wir zum Beispiel in der 3. Gleichung E_z durch (E'_z - B'_y·v)/k  ( Gleichung 6  !) und lösen nach B_y auf, dann finden wir:   

B_y = (B'_y - (v/c²) ·E'_z) / k

In entsprechender Weise muss man vorgehen, wenn weitere Transformationsgleichungen für B_z , B'_y und B'_z gewünscht werden.

Hinsichtlich der x-Koordinate verhält sich B wie E.

Es gilt: B'_x = B_x.

Zur Begründung denken wir uns ein homogenes Magnetfeld dessen B in die x-Richtung weist und eine Ladung q, die aus der Sicht von S' mit der Geschwindigkeit u' quer zur x’-Richtung fliegt.

Ein Beobachter in S' ordnet dieser Ladung die Kraft F' = B'_x · q · u' zu.

F' = B'_x · q · u'   →    B'_x = F’ / (q · u')

Für einen Beobachter in S gilt:

F = B_x · q · u   →    B_x = F / (q · u)

Ein Beobachter in S misst die kleinere Kraft F = F'· k und eine kleinere Geschwindigkeit u = u' · k quer zur x-Richtung.

B_x = F / (q·u)  =   F' · k/ (q· u'· k)  =  F' / (q · u')  = B'_x

 In den Gleichungen 7 – 12 sind die Transformationsgleichungen für B zusammengefasst. Die gegenüber stehenden Gleichungen 1-6 sind die zuerst hergeleiteten Gleichungen für die Elektrische Feldstärke E.

Aus diesen Transformationsgleichungen können folgende wichtige Schlüsse gezogen werden:

1.    Wird eine elektrische Ladung  mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung  bewegt, dann führt sie aus der Sicht des ruhenden Beobachters neben  einem elektrischen Feld auch noch ein magnetisches Feld  mit sich.

B_y = -v/c² · E_z  ¸ B_z = v/c² · E_y

Begründung:

B'_y = (B_y + (v/c²)·E_z) /k;    B'_y  = 0     → B_y = -v/c² · E_z

B'_z = (B_z -  (v/c²)·E_y) /k;    B'_z  =  0     → B_z = v/c² · E_y

2.    Wird ein Magnetfeld (Kraftflussdichte  B in z-Richtung) mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann nimmt der ruhende Beobachter neben der magnetischen Kraft auch eine elektrische Kraft mit E_y = B_z · v  wahr.

Begründung:

E'_y  = (E_y - B_z ·v) / k;  E'_y  =  0   →   E_y = B_z · v

Mit Hilfe der Gleichung B_y = -v/c² · E_z kann der Anteil ΔB berechnet werden, den  ein  kleiner, stromdurchflossener Leiterabschnitt  zur Kraftflussdichte B eines Magnetfeldes zusteuert.

Der elektrische Strom im Leiterabschnitt der Länge ΔL bewirkt bei P ein auf den Betrachter gerichtetes ΔB für dessen Betrag gilt:

|ΔB| = I· ΔL·µ₀·sinα /(4·π·r²)

Gesetz von Biot-Savart

Herleitung