Herleitung des Biot-Savartschen Gesetzes

Es soll untersucht werden, wie ein kleiner Ausschnitt der Länge ΔL aus einem stromführenden Leiter zur magnetischen Kraftflussdichte an einem Punkt P außerhalb des Leiters beiträgt.

Abb. 1 

In der Abb. 1 ist ein solches Leiterstück abgebildet. Der erwähnte Punkt P hat den Abstand r von ΔL . Die Verbindungsstrecke zwischen P und ΔL bildet mit letzterem den Winkel α. Bei P ist eine Ladung q , die sich mit der Geschwindigkeit v parallel zum Leiter bewegt. q erzeugt bei ΔL ein B nach B_y = -v/c² · E_z.

E_z erhalten wird nach dem Coulombschen Gesetz:

|E| = q/(4·π·ε₀·r²)     →     E_z = -q·sin α /(4·π·ε₀·r²) 

B_y = -v/c² · E_z

↓

B_y = q·v·sin α /(4·π·c²·ε₀·r²)  

Auf das Leiterstück wirkt demnach die Kraft F_z = I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c²·ε₀·r²)

Nach dem Wechselwirkungsgesetz wird eine gleich große magnetische Kraft F* parallel zur z-Achse auf die Ladung q ausgeübt.

F*_z = -I· ΔL·q · v·sin α /(4·π·c²·ε₀·r²)

Diese Kraft weist auf eine von ΔL verursachte magnetische Kraftflussdichte ΔB am Punkt P hin.

F*_z = q ·v· ΔB_y        →    -I· ΔL·q·v·sin α /(4·π·c²·ε₀·r²) = q ·v· ΔB_y

ΔB_y = -I· ΔL·sin α /(4·π·c²·ε₀·r²);        c² = 1/(ε₀·µ₀)

ΔB_y = -I· ΔL·µ₀·sinα /(4·π·r²):    Gesetz von Biot-Savart