2. 1  Kreisumfang und Kreisfläche

Umfang des Kreises

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r sei zu berechnen.

Der  Begriff  Länge  erscheint  in  bezug  auf  einen  Kreisbogen  zunächst  unpassend, denn  man verbindet mit ihm eine  Zahl von  Einheitsstrecken,  die  an  eine  gegebene Strecke  anlegt werden können. Da zu einem Kreisbogen keine geraden Längeneinheiten passen,  könnte die gestellte Aufgabe für unlösbar erklärt werden. Man wird sich zunächst mit einer näherungsweisen Beschreibung der  Bogenlänge zufrieden geben müssen. Einem Kreis wird ein reguläres   6- oder   12-  oder 24 - Eck entsprechend der Vorführung nach einbeschrieben, und der Umfang eines solchen Vielecks angeben.

Abb. 1

Das  12- Eck  ist   dem Kreis schon ziemlich gut  angepasst,  so dass sein Umfang schon fast als geeignetes Maß  für den Kreisumfang  angesehen werden könnte. Vor einer Entscheidung erscheint es jedoch angebracht noch 24-,  48 - Ecke usw. zu prüfen. Wir betrachten zu diesem Zweck einen Kreis mit dem Radius 1 Längeneinheit. Das einbeschriebene 6-Eck hat den Umfang 6 LE. In    Abb. 2 ist zu sehen,  wie nach Kenntnis der 6-Eck - Seite eine 12-Eck-Seite und dann eine 24-Eck-Seite usw. ausgerechnet werden kann.

 Abb. 2

Zur Berechnung von s₂₄ muss in der für s₁₂ gültigen Formel s₁₂ durch s₂₄ und s₆ durch s₁₂ ersetzt werden. In gleicher Weise kann dann auch das 48-, 96-Eck usw. berechnet werden.

Der Kreisumfang kann sehr schnell mit dem hier verfügbaren Online - Rechenprogramm ermittelt werden. In das Rechenfenster wird x=wrz((x/2)^2+(a-wrz(a^2-(x/2)^2))^2); m=m+1; f=6*2^m; b=f*x eingetragen. wrz((x/2)^2+(a-wrz(a^2-(x/2)^2))^2) ist die in der Abb.2 angegebene Formel in anderer Form. Für a = r und die Länge x einer Sechseckseite wird jeweils die Zahl 1 in das zugehörende Fenster eingetragen. e steht für die Zahl der Ecken und b für den Vieleckumfang. Wird zehnmal das Gleichheitszeichen gedrückt, dann erhält man als Umfang b eines 6144-Ecks den Wert 6,2831850334003. 6,2831852900352 erhält man für ein 24576-Eck.

Es ist zu sehen, dass der Umfang mit steigender Eckenzahl gegen den  Grenzwert  U = 6,2831853071796.. strebt. Diesen Grenzwert definieren wir als Umfang des Kreises  mit dem Radius r = 1 Längeneineit.

Nun kann auch der Umfang U(r) eines Kreises mit dem Radius r bestimmt werden. Da der Umfang eines einbeschriebenen regulären  n - Ecks nach dem Strahlensatz  dem Radius r  proportional ist,  muss auch gelten:     

U(r)  ~   r

Hieraus folgt: 

U(r) / r =  6.28318530717957.. / 1   →       U(r)  =  (6.28318530717957..)  · r

Umfang / Durchmesser  = 6.28318530717957.. / 2 = 3,14159265358979...

Der Quotient Umfang / Durchmesser  heißt Kreiszahl π (Pi).

Somit können wir für den Kreisumfang U schreiben:  U =  π· 2 · r = 2 · r · π

Kreisbogen s zu einem gegebenen Mittelpunktswinkel φ

Abb. 3

Das Verhältnis  s/r beschreibt in eindeutiger Weise die Größe des Winkels. Man nimmt deshalb s/r unter dem Namen Bogenmaß auch zur Beschreibung eines Winkels.

Flächeninhalt eines Kreises

Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r wird  zunächst  nur  annähernd  durch  den  Flächeninhalt eines einbeschriebenen Vielecks beschrieben. Zur genaueren Beschreibung wird die Eckenzahl vergrößert. Mit zunehmender Eckenzahl streben die Flächeninhalte gegen einen Grenzwert, der als Kreisflächeninhalt definiert wird (siehe Abb. 4).

Abb. 4

Flächeninhalt A_s eines Kreissektors

Abb. 5