1.3 Die Zahl e

Herleitung des Wachstumsgesetzes einer Bakterienkultur

Bakterienwachstum wird durch das folgende Programm beschrieben ( siehe Kapitel 1.1):

|n|k|h|t|=|100|0.2|0.01|0|: h steht für Δt 

Wiederhole bis n>1000

_t;n

n = n + k*n*h

t = t + h

zurück

Die mit diesem  Programm entwickelte Wachstumskurve gleicht dem Grafen zu

n_t =  f(t) = 100 · 2 ^t/T ( T = Verdopplungszeit). Die Verdopplungszeit T hängt vom Wachstumsfaktor k ab.

k = Δn / (n · Δt) 

Je größer  k ist, desto kleiner ist T.  Möglicherweise ist das Produkt k · T eine Konstante.  An Wachstumskurven zu verschiedenen k werden Verdopplungszeiten abgelesen. Die Vermutung, dass k · T eine Konstante ist ( T ~ 1/k ), erfährt eine Bestätigung. Für das genannte Produkt findet man in allen Fällen: 

k · T = 0,692    →       T = 0,692/k

↓

n_t =100 · 2^{t /T}  = 100 · 2 ^{k·t / 0,692}

1 /0,692 = 1,445

↓

n_t = 100 · 2^1,445·k·t   =  100 · (2^1,445)^k·t

Zur Vereinfachung dieses Terms nehmen wir 2^1,445 als Basis und geben dem Wert 2^1,445 = 2,72 den Namen e. So können wir schreiben :

n_t = f(t)  = n₀ · e ^k·t ;   n₀ = 100

e als Grenzwert von (1+ b)^b

Der oben angegebene Gleichung für das Bakterienwachstum soll nun hergeleitet werden. Für den Zuwachs Δn von n Bakterien in einem kleinen Zeitabschnitt Δt gilt:

Δn = n · k · Δt

Diese Gleichung ist mit einem kleinen Fehler behaftet, denn n ist nicht konstant in Δt, sondern ändert sich innerhalb dieses kleinen Zeitabschnitts. Der Fehler ist jedoch nicht nennenswert, wenn Δt sehr klein gewählt ist. 

Wenn wir die Bakterienzahl am Anfang und Ende von Δt (Δt₁) mit n₀ und n₁ bezeichnen, dann gilt:

n₁ = n₀ + n₀ · k · Δt = n₀ · (1+ Δt · k)

Hieraus folgt für den nächsten Abschnitt Δt:   

n₂ = n₁ + n₁ · k · Δt   =   n₁ · (1+ Δt ·k)

Unter Berücksichtigung von  n₁ = n₀ · (1+ Δt · k) folgt hieraus:   n₂ = n₀ · (1+ Δt ·k)²

Die Zahl n_j am Ende eines aus j Zeitabschnitten gebildeten Zeitraums der Dauer t kann somit errechnet werden nach:

 n_j =  n₀·(1+ Δt ·k)^j

n_j = n₀ · (1+ Δt · k)^j ;     j  = t /Δt      →     n_j = n₀ · (1+ Δt · k)^t/Δt   

Um einen Vergleich mit f(t)  = n₀ · e ^k·t zu ermöglichen, wird der Exponent mit k erweitert.

↓

n_t = n₀·(1+ Δt·k)^{k · t / (k · Δt)}       →     n_t = n₀· [(1+ Δt·k)^{1/ ( k · Δt )} ]^{k · t}

1/( k · Δt) = b

↓

n_t = n₀· [(1+ 1/b)^b ]^{k · t}

Oben wurde gesagt, dass Δn = n · k · Δt umso besser gilt je kleiner Δt ist. Folglich geht der durch die Dauer von Δt bedingte Fehler in  n_t = n₀ · [(1+ 1/b)^b]^{k · t}   gegen 0, wenn b gegen  strebt . Beim Vergleich von n_t = n₀· [(1+ 1/b)^b ]^{k · t}   mit  n_t=n₀·e^k·t   wird der Schluss nahegelegt, dass der Term (1+1/b)^b  mit größer werdendem b bzw. kleiner werdendem Δt gegen e strebt.

Die Überprüfung dieser Vermutung erfolgt mit dem hier verfügbaren Online-Rechenprogramm. In das Rechenfenster wir die Zeile a=a+1; b=4^a; c=(1+1/b)^b eingetragen und danach wird mehrmals das Gleichheitszeichen angeklickt. Deutlich ist dabei zu erkennen, wie sich der Wert des Terms (1+1/b)^b mit wachsendem b=4, 16, 256, 65536... dem Grenzwert 2,718.... nähert.

Die Folge der Werte (1+1/b) ^b verhält sich ähnlich wie die Zahlenfolge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. Auch die Glieder dieser Zahlenfolge nähern sich nach und nach immer mehr einer als Grenzwert bezeichneten Zahl. Der Grenzwert der Folge 0,9;  0,99;  0,999;  0,9999;  0,99999............. ist 1.

Nach Eingabe einer „32“ und „START“ kann die hier geschilderte Untersuchung ausgeführt werden.

Angesichts dieser Tatsache ist es sinnvoll, e als Grenzwert von (1+1/b)^b zu definieren.

Nach Eingabe von „29“ und „START“ kann gezeigt werden, dass n = n · e^k·t das Wachstum einer Bakterienkultur beschreibt.

Zunächst wird mit dem Wachstumsprogramm die Wachstumskurve geschrieben. Anschließend wird  die unter dem Progamm stehende Gleichung  f(t) = 100*exp(k*t) doppelt angeklickt. exp(k*t) steht für e^k*t.