2.9  Additionstheoreme der Winkelfunktionen

Ein Punkt P werde nach einer Drehung um α noch einmal um einen Winkel β gedreht. Nach der ersten Drehung hat er die Koordinaten x; y , nach der zweiten Drehung die Koordinaten x^* ; y^*.

Es gilt:

Mit Hilfe dieser Gleichungen können sin( α + β) und  cos ( α +  β) durch sin α, sin β, cos α und cos β ausgedrückt werden. Die ganz links  stehenden Terme für x und y können in die Terme des zweiten Paares eingesetzt werden. 

x^* = (x · cos α - y · sin α) · cos β – (x · sin α + y · cos α) · sin β

y^* = (x · cos α - y · sin α) · sin β + (x · sin α + y · cos α) · cos β

↓

x^* = x · (cos α · cos β - sin α · sin β) – y · (sin α · cos β + cos α · sinβ )

y^* = x · ( cos α · sin β + sin α · cosβ ) + y · (cos α · cos β - sin α · sinβ )

im Vergleich mit

x^* =  x · cos (α + β) - y · sin (α + β) 

y^* = x · sin (α + β) + y · cos (α + β)

finden wir :

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

tan( α + β) =  sin (α + β) / cos (α + β)

tan( α + β) = (sin α · cos β + cos α · sin β) /( cos α · cos β - sin α · sin β)

Dieser Bruchterm wir mit cos α · cos β gekürzt.

tan( α + β) = ( sin α / cosα + sin β / cos β)/ [1 – (sin α/ cosα)  · (sin β / cos β)]

↓

tan( α + β) = ( tan α + tan β) / ( 1 – tan α · tan β)

Berechnung von Sinus- und Kosinuswerten  mit Hilfe der Additionstheoreme

Mit Hilfe der Additionstheoreme  können die sin-  und  cos-Werte  für jeden beliebigen Winkel berechnet werden. Wenn z.B. diese Werte für 50° bestimmt werden sollen, dann  geht  man an diesen Winkel  in kleinen Schritten von beispielweise 0,1° vom Winkel 0,1° ausgehend heran. sin( 0,1°) kann gleich  dem zu   0,1° gehörenden Bogenmaß arc(0,1°)  und   cos(0,1°)  gleich 1 gesetzt werden.  arc(0,1°) = 0,0017453283..

1. Schritt: Berechnung von sin(0,2°) = sin(0,1°+0,1°) und   cos(0,2°)= cos(0,1°+0,1°)

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) =  sin(0,1°)  · cos(0,1°) +  sin(0,1°) ·cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°) = cos(0,1°) · cos(0,1°) - sin(0,1°) · sin(0,1°)

sin (0,2°) = sin(0,1° + 0,1°) = sin(0,1°)  · 1 + 0,0017453283 · cos(0,1°)

cos(0,2°) = cos(0,1° + 0,1°)  =  cos(0,1°) ·1  -  0,0017453283 · sin(0,1°)

2. Schritt: Berechnung von sin(0,3°) = sin(0,2°+0,1°) u. cos(0,3°) = cos(0,2°+ 0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) = sin(0,2°)  · cos(0,1°) + sin(0,1°) ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · cos(0,1°) - sin(0,2°) · sin(0,1°)

sin (0,3°) = sin(0,2° + 0,1°) =  sin(0,2°)  · 1 + 0,0017453283  ·cos(0,2°)

cos(0,3°) = cos(0,2° + 0,1°) = cos(0,2°) · 1 - sin(0,2°) · 0,0017453283

usw.

Berechnung von sin - und cos -Werten mit dem hier verfügbaren Online-Rechenprogramm

Zur Berechnung von sin(60°) und cos(60°) wird die folgende Zeile in das Rechenfenster geschrieben:

b = b + 0,0017453283* a; a =a - b * 0,0017453283; g = g+ 0,1; h = sing(g); k = cosg(g); m=g;

a: cos ;  b: sin ;   g: Winkel im Gradmaß;   arc(0,1°) = 0,0017453283....

Im Variablenfeld wird für den Anfangswert a=cos(0) =1 und für den Winkel n =60 eingetragen.

h = sing(g); k = cosg(g); sind zur Kontrolle der Genauigkeit dabei.