2.7  Sinussatz, Kosinussatz und Skalarprodukt

Aufgaben:

Es soll nun versucht werden,  ein beliebiges Dreieck mit Hilfe gegebener Winkel zu berechnen.

1. In einem Dreieck seien die Winkel α und β sowie die Seite b bekannt. Durch diese drei Größen ist das Dreieck eindeutig festgelegt (wsw – Satz). Eine Berechnung von a und c sollte möglich sein. Zur Anwendung von sin und cos müssen rechtwinklige Dreiecke vorliegen. Rechtwinklige Dreiecke erhält man durch Einzeichnen der Höhe h (siehe Abb. 1).

Abb. 1

h / b = sinα;   h / a = sinβ   →    h = b · sinα;   h = a · sin b

→   b · sinα  = a · sinβ      →     b / a = sinβ  / sinα

 Zwei Seiten verhalten sich zueinander wie die Sinuswerte der Gegenwinkel.

Sinussatz !

b = 6 cm;  α = 70°;   b = 30°

a = b · sinα / sinβ = 11,27 cm

c / a = sinγ / sinα = sin 80° / sin 70°     →      c = a · sin 80° / sin 70° = 11,81 cm

2. Zu einem Dreieck seien b, c und  α bekannt. a soll berechnet werden.

a² = d² + h² ;  h = b · sinα

(c - d) / b = cosα ;    c – d = b · cosα;   d = c – b · cosα

→    a² = (  c – b · cosα )² + (b · cosα)²

→    a² = c² – 2· c · b· cosα + b² · cos²α + b² · sin² α

→    a² = c² – 2· c · b·cosα + b² · (cos² α +  sin² α );   cos² α +  sin² α  = 1     →    a² =  b² + c² – 2· c · b· cos α

Zur Berechnung a=wrz(b^2+c^2-2*c*b*cosg(d)) im Rechenprogramm eingeben und die Werte für b, c und d(Winkel im Gradmaß) eintragen.

Abb. 2

Kosinussatz: Subtrahiert man von der Summe aus den Quadraten zweier Seiten das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, dann erhält man das Quadrat der dritten Dreieckseite.

b = 5cm; c = 8cm; α = 40°

a² = 25 +64   – 80 · cos 40° = 89 - 80 · cos 40° 27, 7   →    a = 5,26 cm

ACHTUNG !

Im Rechenfenster des Programms  „Mathe.-Physik“ kann der Menüpunkt „Dreiecksberechnung“ gewählt werden. Nach seiner Wahl erscheint  ein  Eingabefenster  für  Winkel und  Seiten  eines  Dreiecks.  Anhand der   ersten   drei   Angaben werden die anderen Größen des Dreiecks berechnet. Im Rechenfenster ist eine Fortsetzung der Berechnungen möglich.

3. Die Koordinaten der Vektoren a und b seien gegeben.

Es soll der Winkel α bestimmt werden, den diese beiden Vektoren miteinander bilden.

Abb. 3

Nach dem Kosinussatz gilt:

|c|² = |a|² + |b|² – 2 · |a| · |b| · cosα

|a|² = a₁² + a₂² ; |b|² = b₁² + b₂²

b + c = a →   c = a – b  (Vektoren )

→ c₁ = a₁ – b₁ ; c₂ = a₂ – b₂   →    |c|² =  (a₁ – b₁)²  +  (a₂ – b₂)²

→   (a₁ – b₁)²  +  (a₂ – b₂)² =  a₁² + a₂²  +  b₁² + b₂² – 2 · |a| · |b| · cosα

→     - 2· a₁ · b₁ -  2 · a₂ · b₂ = – 2 · |a| · |b| · cosα

↓

 a₁ · b₁ + a₂ · b₂ =  |a| · |b| · cosα      →      cosα = (a₁ · b₁ + a₂ · b₂) /(|a| · |b|)

a₁ · b₁ + a₂ · b₂ heißt Skalarprodukt der Vektoren a und b. Das Skalarprodukt beschreibt das Produkt aus den Vektorbeträgen und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels.

Das Skalarprodukt kann mit dem hier verfügbaren Online - Rechenprogramm  berechnet werden (siehe Ende der Programmseite).