10. Quadratische Funktionen

Abb. 1

Wir lassen eine  Kugel    auf    einer   schiefen    Ebene  mit  geringer  Neigung    abwärts    rollen, klicken beim Start die Starttaste der hier verfügbaren Online-Stoppuhr an und wiederholen dies immer wieder dann, wenn   die Kugel   eine  der   angedeuteten Markierungen    passiert   ( siehe Abb.1). Hierbei werden die Zeiten für die zurückgelegten Wege eingetragen,   Anschließend  werden diesen Zeiten die zugehörenden  Wege angefügt ( siehe nachfolgende Tabelle). Links   stehen  die Zeiten in Sekunden und rechts die Wege in cm.

Abb.2

Den Zeit-Weg-Paaren werden Variablenpaare x | y (x = t ; y = s) zugeordnet.

1,578|5; 2,526|10; 3,583|20; 4,403|30; 5,651|50; 6,731|70; 7,674|90

In dem hier vorliegenden Fall kann man nach der Angabe des x-Werts anhand der Tabelle  sofort den y-Wert nennen, da es keine unterschiedlichen Paare mit gleichen x-Werten gibt. Dies wäre dann nicht der Fall, wenn es z.B. neben dem Paar 2,5260 | 10 ......  noch das Paar  2,5260 | 15 ......    gäbe. Ist der Wert einer Variablen y eindeutig durch den Wert einer Variablen x festgelegt, dann sagt man y sei eine Funktion von x.

Die Kurzform für diese Aussage ist:  y = f(x)

Die Werte der Variablen x bilden die Definitionsmenge, die der Variablen y die Wertemenge der Funktion.

In dem hier vorliegenden Fall kann x auch als eine Funktion von y aufgefasst werden; die Funktion ist umkehrbar. Bei einer Paarmenge x; y steht y in der Regel für die Funktion. Die Abhängigkeit des zweiten  Wertes y vom  ersten Wert x kommt in einer grafischen Darstellung ( siehe Abb. 3)  besser zum   Ausdruck als in einer Tabelle. Wir ordnen jedem Zahlenpaar einen Punkt P(x; y) im Koordinatensystem zu.

Abb.3                                                                                Abb.4

Zu Funktionen  können  oft   Zuordnungsvorschriften  gegeben werden, nach denen y  anhand von x berechnet werden kann. Auch in dem hier vorliegenden Fall kann eine solche Zuordnungsvorschrift gefunden werden.

Möglicherweise  besteht  eine  Proportionalítät zwischen y und x.

Nach Auswertung der Tabelle mit s/t (entspricht y/x) erscheint eine dritte Spalte mit ansteigenden Werten s/t. Eine Proportionalität zwischen y und x liegt demnach nicht vor, denn im Falle der Proportionalität müsste y/x = s/t konstant sein. Die Werte y/x sind mittlere Geschwindigkeiten. Unter einer mittleren Geschwindigkeit v verstehen wir das  Verhältnis aus einem Weg y und  der  zugehörenden  Zeit x. Für die Definition von v ist es ohne Bedeutung ob der bewegte Gegenstand in dieser Zeit unterschiedlich schnell ist.

Es ist denkbar, dass die mittlere Geschwindigkeit v = s/t = y/x der Zeit x proportional ist.

Eine Auswertung der Tabelle (siehe Abb.2) mit (s/t)/t = s/t² = y/x² zeigt an, dass   v~ x   zutrifft. Die geringen Abweichungen unter den Werten sind auf Ungenauigkeiten bei der Messung zurückzuführen.

v / x = (y/x)/x    →     v / x  = y/x² 

v  / x  →   k (Konstante) ≈ 1,55      →     y / x² = k       →     y = k · x²

Die hier vorliegende Funktion wird  wegen der Zuordnungsvorschrift  y = k · x² als quadratische Funktion bezeichnet.

In der Abb. 4 ist der zugehörende Funktionsgraph (rot) zu y = 1,55 · x² sehen. Er wurde mit dem hier verfügbaren Grafikprogramm (online) gezeichnet.

Quadratische Funktionen  heißen solche mit der  Zuordnungsvorschrift     y = a·x² + b·x + c .

Für  y= 1,55·x²  können wir schreiben y = 1,55·x² + 0·x + 0 (a =1,54; b = 0; c = 0).

Über die Graphen quadratischer Funktionen (anklicken !)