Die Spezielle quadratische Funktion y = x² trägt den Namen Quadratfunktion. Die Graphen zu quadratischen Funktionen nennen wir Parabeln. Die Parabel zu y = x² heißt Normalparabel. In Abb. 1 sind die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen dargestellt.
Abb. 1
Mit einem hier verfügbaren Onlineprogramm können diese Graphen entwickelt werden.
Anmerkung zur Abb. 1:
1.) Neben der Normalparabel (rot) durch den Nullpunkt des Koordinatensystems sind zwei weitere Parabeln zu y = (x-3)² (blau) und y = (x-3)²+4 (violett) abgebildet. Dass es sich bei der Parabel zu y = (x-3)² um eine nach rechts um 3 verschobene Normalparabel handelt, ist leicht einzusehen. y = (x - 3)² nimmt für z.B. x = 3 +0,1, x = 3+ 0,2 , x = 3+ 0,3 die gleichen Werte an wie y = x² für x = 0,1, x = 0,2, x = 0,3. Der Graph zu y = (x-3)² entwickelt sich demnach um x = 3 genauso wie der Graph von y = x² um x = 0. Wird zu y = (x-3)² die Zahl 4 addiert, dann werden die Punkte von y = (x-3)² um 4 angehoben. y = (x-3)²+4 beschreibt demnach eine um 3 nach rechts und um 4 nach oben verschobene Normalparabel.
Schlussfolgerung: Ein Graph zu f(x) = (x-d)² + e ist eine verschobene Normalparabel.
d: Verschiebung parallel zur x-Achse.
e: Verschiebung parallel zur y-Achse.
Ist d bzw. e positiv, dann hat man eine Verschiebung in Achsenrichtung, andernfalls eine Verschiebung gegen die Achsenrichtung. P = P(e; d) ist der Scheitelpunkt der Parabel (der tiefste oder höchste Punkt).
Aufgabe:
Es soll der Scheitelpunkt zu einer Parabel mit der Zuordnungsvorschrift y = x² + b·x + c bestimmt werden. y = x² + b·x + c muss zu diesem Zweck in die Form y = (x - d)² + e gebracht werden. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung (b/2)².
y = x² + b·x +(b/2)² + c - (b/2)²
y = (x + b/2)2 + c – b2/4 → d = - b/2 ; e = c – b2/4
Es ist zu sehen, dass jede quadratische Funktion der Form y = x² + b·x + c durch eine verschobene Normalparabel dargestellt wird.
Über die Bedeutung von a in y = a·x² + b·x + c
Es soll nun noch untersucht werden, wie sich der Faktor a vor x² auf den Graphen auswirkt. In Abb. 2 sind Graphen zu den Funktionen y = x², y = 2·x² und y = 0,5· x² zu se
Abb. 2
Wir erkennen anhand der Abb. 2:
1.) Der Graph zu y = 2·x² ist das Bild der Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m=½.
2.) Der Graph zu y = 0,5·x² ist da Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m=2.
Der Graph zu y = a·x² ist demnach das Bild einer Normalparabel bezüglich einer zentrischen Streckung an Z = Z(0|0) mit m = 1/a.
Eine zentrische Streckung mit negativem m ( a < 0) führt zu einer Umkehrung der Parabel (siehe Abb. 3).
Abb. 3
y = a·x² + b·x + c kann mit einer quadratischen Ergänzung umgeformt werden in y = a·(x-d)² + e.
↓
Der Graph jeder quadratischen Funktion kann als zentrisch gestreckte und verschobene Normalparabel aufgefasst werden.
Beweis:
y = a · x2 + b· x + c ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + c/a ] ↔ y = a · [ x2 + (b/a) · x + (½ · b/a)2 + c/a - (½ · b/a)2 ]
↓
y = a · [ (x + ½ · b/a)2 + c/a – b2/ (4· a2)] ↔ y = a ·(x + ½ · b/a)2 + c – b2/ (4· a)
↓
m = 1/a; d = - ½ · b/a; e = c – b2/ (4· a)
Abb. 4 : Menneken Pis, eine bekannte Brunnenfigur in Brüssel
Aufgaben zum Kapitel „Quadratische Funktionen“ (anklicken !)