2.
Bestimmung einer Wurzel durch Iteration
Aufgabenstellung:
Es soll die Lösung von x² = c ( z. B. c = 41) bestimmt werden.
c = x² ↔ c = x · x ↔ c/x = x
x1 sei eine etwas ungenaue, geschätzte Lösung.
Der wahre Wert x ( Lösung von c = x² ) liegt zwischen c/x1 und x1
Begründung:
Ist x1 < x, dann gilt: c/x1 > x
Mit kleiner werdendem Nenner wird der Quotient größer.
Der Mittelwert x2 von c/x1 und x1 liegt dem Wert x näher.
x2 = (x1 + c/x1) /2
Noch besser passt x3 = (x2+ c/x2)/2 und dann x4 = (x3+ c/x3)/2.
Diese schrittweise Annäherung an die richtige Lösung mit x1, x2, x3, x4 usw. heißt Iteration (Iter: lateinisch der Schritt).
Die Iteration kann sehr schnell mit dem hier verfügbaren Online - Rechenprogramm durchgeführt werden. In das Rechenfenster wird x=0,5*(x+c/x) und in der Zeile für x der erste Schätzwert für die Gleichung x2 = c eingetragen. Nach Anklicken des Gleichheitszeichens erscheint ein besserer Näherungswert, nach dem zweiten Anklicken des Gleichheitszeichens ein noch besserer usw..