Bewegung unter einer konstanten Normalkraft

Wenn eine Kraft auf einen Körper K wirkt, erwartet man an K eine Veränderung des Geschwindigkeitsbetrags. Dies ist nicht immer der Fall, z.B. dann nicht, wenn es sich um eine Normalkraft handelt, wenn die Bewegungsrichtung mit der Richtung der Kraft einen rechten Winkel bildet. Man denke an einen Körper der Masse m, der an einem Faden auf einer Kreisbahn geführt wird.

Wir untersuchen nun eine solche Bewegung in der x-y-Ebene unter einer dem Betrage nach konstanten Normalkraft F = {F₁ ; F₂ ; 0}. In der Schule ist die mathematische Behandlung dieser Bewegung nur mit Hilfe eines Rechners möglich. Hierbei wird in folgender Weise vorgegangen:

Die Bewegungszeit wird in sehr kleine Zeitabschnitte Δt zerlegt. Ein Δt ist so klein, dass innerhalb dieses Δt die Kraft nach Richtung und Betrag als konstant angesehen werden kann. Mit den für konstante Kräfte geltenden Bewegungsgleichungen wird die Änderung des Orts und der Geschwindigkeit während des ersten Zeitabschnitts Δt berechnet.

a₁ = F₁ /m, a₂ = F₂ /m

F₁, F₂ : Kraftkomponenten während des Zeitabschnitts Δt

a₁, a₂: Beschleunigungen in x- und y-Richtung

v₁ = a₁· Δt + u₁ , v₂ = a₂· Δt + u₂

u₁, u₂ : Geschwindigkeiten vor Δt, v₁, v₂ : Geschwindigkeiten nach Δt

x = 0,5 · a₁ · Δt² + u₁ · Δt + x₀ , y = 0,5 · a₂ · Δt² + u₂ · Δt + y₀

x₀, y₀: Koordinaten vor Δt, x, y: Ortskoordinaten nach Δt

Nach dieser Rechnung ist der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des zweiten Abschnitts Δt bekannt. Mit deren Werten wird daraufhin der Ort und die Geschwindigkeit zu Beginn des dritten Abschnitts ( nach dem Ende des 2. Abschnitts) berechnet usw..

Manchmal ist auch eine Angabe über die Bewegungszeit erwünscht. Hat diese vor Δt den Wert t_vor , dann ist sie nach Δt gleich t_nach = t_vor +Δt.

Zur Untersuchung der Bewegung wird die folgende Zeile in das Fenster des hier vorliegenden Programms geschrieben:

k=0,5; h=0,01; m=1; i=wrz(c^2+d^2); f=k*d/i; g=-k*c/i; a=f/m; b=g/m; x=0,5*a*h^2+c*h+x; y=0,5*b*h^2+d*h+y ; c=c+a*h; d=d+b*h; l=l+1; t=t+h

Anmerkung: k = F , f = F_x, g = F_y, c = v₁, d =v₂, i = Gesamtgeschwindigkeit, h = Δt.

Mit dieser Zeile wurde die Bahn in der Abb.2 erhalten. Im Variablenfeld wurde als Anfangswert für y der Wert 4,5 angegeben, für v₁ = c wurde der Wert 1,5 (1,5 m/s) und für F = k der Wert 0,5 (0,5 N) eingetragen. Mit der Eingabe n =1886 wurde festgelegt, dass die eingetragene Zeile 1886 Mal bearbeitet wird, dass somit 1886 Punkte gezeichnet werden. Die Bearbeitung wird beendet wenn l (L) in der Programmzeile größer als n ist. Die in der Abb. 2 sichtbare Bahn wurde nach dem angegebenen Programm gezeichnet,. Sie weicht etwas von einer Kreisbahn ab. Dies ist auf Rechenungenauigkeiten zurückzuführen. Eine höhere Rechengenauigkeit wird erreicht, wenn zur Berechnung statt der Beschleunigung zu Beginn eines kleinen Zeitabschnitts Δt die Beschleunigung in der Mitte von Δt genommen wird. Für die Änderung Δa der Beschleunigung in Δt/2 kann geschrieben werden:

Δa ≈ (a_{nach Δt} – a_{vor Δt} ) / 2 → a_Mitte ≈ a_{vor Δt} + (a_{nach Δt} – a_{vor Δt} ) / 2

Da a_{nach Δt} zunächst unbekannt ist, ist eine solche Korrektur für das erste Δt nicht möglich. Für die folgenden Zeitabschnitte werden die Δa - Werte genommen, die für den jeweils vorangehenden Zeitabschnitt ermittelt wurden. Dies geschieht mit der folgenden Anweisungen an den Rechner:

k=0,5; h=0,01; m=1; i=wrz(c^2+d^2); f=k*d/i; g=-k*c/i; a=f/m; b=g/m; a=0,5*j*(a-o)+a;b=0,5*j*(b-p)+b; x=0,5*a*h^2+c*h+x; y=0,5*b*h^2+d*h+y ; c=c+a*h; d=d+b*h; o=a;p=b; l=l+1; j=1; t=t+h

Mit a = 0,5 * j * (a - o) + a; b = 0,5 * j * (b - p) + b; wird die Korrektur vorgenommen. o und p sind Beschleunigungen zu Beginn des vorangehenden Zeitabschnitts Δt. Da solche Werte beim ersten Δt nicht vorliegen, müssen 0,5 * (a – o) und 0,5 * (b - p) zuallererst unberücksichtigt bleiben. Dies gelingt mit der Variablen j, die zunächst den Wert 0 hat, dann aber nach der ersten Berechnung auf 1 gesetzt wird. In der Abb.3 ist eine Kreisbahn zu sehen, die mit dieser Korrektur gezogen wurde.

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Abb. 4