Über das Auslaufen eines Gefäßes mit textilem Boden

Abb.1

An der freien Schmalseite der Experimentierwippe (siehe Abb. 1) hängt ein Gefäß mit textilem Boden. Aus diesem Gefäß läuft Wasser aus, wobei der Rechner das Diagramm in der Abb. 1 aufzeichnet. Wie an dem Diagramm erkennbar, läuft in einer Zeit t_h, der sogenannten Halbwertszeit, unabhängig vom anfänglichen Wasserstand die Hälfte der Wassermenge aus.

Im ersten Zeitabschnitt der Dauer t_h nimmt die Wassermasse m₀ auf m₀ / 2 ab. Am Ende des darauf folgenden Zeitabschnitts der gleicher Dauer hat der Gefäßinhalt die Masse m = m₀·(1/2)·(1/2) und nach der Zeit t = n·t_h ( n = t/t_h ) gilt :

m = m₀ · (1/2)ⁿ = m₀ · (1/2)^(t/th) = m₀ · 2 ^{- (t/th)}

Eine Exponentialfunktion beschreibt das Ausfließen des Wassers .

Mit Hilfe des vorliegenden Grafikprogramms kann man dieses Auslaufverhalten erklären, wenn man davon ausgeht, dass der textile Boden das Auslaufen mit einer der Auslaufgeschwindigkeit v proportionalen Kraft F_R bremst.

v ~ Δm/Δt, Δm ist die Masse der in dem kleinen Zeitabschnitt Δt austretenden Flüssigkeit.

v ~ F_R , Δm/Δt ~ v → Δm/Δt ~ F_R

↓

(Δm/Δt) / F_R = Konstante = k

↓

Δm/Δt = k · F_R → Δm = k · F_R  · Δt

Die auf das Wasser insgesamt wirkende Kraft ist m·g - F_R .

m·g - F_R = m·a (m·g : Gewichtskraft, a: Beschleunigung des Wassers). Da die Beschleunigung des absinkenden Wassers vernachlässigbar klein ist, kann geschrieben werden: m·g = F_R. Wenn das Wasser vor Δt die Masse m hatte, dann ist m' die Masse nach Δt.

m' = m – Δm = m - k · m ·g · Δt = m ·( 1- k · g · Δt )

Zur Simulation dieses Vorgangs wird in das Rechenfenster des genannten Programms folgende Zeile eingetragen:

y=y*(1-k*g*h); x=x+h; (g steht für 9,81 m/s²)

y steht für die Masse, x für die Zeit t und h für Δt. Für h wird 0,01 (0,01 s), für k der Wert 0,02 (0,02 s/m) und für den Anfangswert von y der Wert 200 (200g) eingetragen. Danach entsteht ein Diagramm, wie es in der Abb. 2 zu sehen ist. Es ist erkennbar, dass auch in diesem simulierten Fall die Halbwertszeit unabhängig von der anfangs vorhandenen Wassermenge ist.

Abb. 2

Einstellungen zu dem aktuellen Programm

Abb.3