Fourieranalyse

Jede periodische Funktion f(x) kann als Konstante + einer Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden.

f(x) = c₀ + c₁ ·sin((2·π/p)·x + β₁) + c₂ ·sin(2·(2·π/p)·x + β₂) + c₃ ·sin(3·(2·π/p)·x + β₃) + c₄ ·sin( 4·(2·π/p)·x + β₄) +…...

p = Periodenlänge

β₁, β₂, β₃ …. : Phasenkoeffizienten

Ist p = 2·π dann gilt: f(x) = c₀ + c₁ ·sin(x + β₁) + c₂ ·sin(2·x + β₂) + c₃ ·sin(3·x + β₃) + c₄ ·sin( 4·x + β₄) +........

Die Methode zur Auffindung dieser einzelnen Sinusfunktionen heißt nach ihrem Entdecker Fourieranalyse. Nach dem Additionstheorem für Sinusfunktionen gilt: sin(x + β₁) = cos( β₁)· sin(x) + sin( β₁)·cos(x).

Deshalb kann die oben angegebene Summe auch als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden.

f(x) = a₀ + a₁·sin(x) + b₁·cos(x) + a₂ · sin(2·x) + b₂·cos(2·x) + a₃ · sin(3·x) + b₃·cos(3·x) + a₄ · sin(4·x) + b₄·cos(4·x) + ...

f(x) umrandet entlang x-Achse eine Fläche. Der Flächeninhalt A eines Abschnitts mit der Periodenlänge p ist gleich p · a₀ . Die Glieder mit sin und cos tragen zu diesem Flächeninhalt nichts bei, weil der Flächeninhalt der unter der x-Achse liegenden Fläche negativ bewertet wird. Zur Berechnung von A wird die Periodenlänge p = 2 · π in viele kleine Δx aufgeteilt. Die zu den Δx gehörenden Flächeninhalte ΔA = f(x) ·Δx werden summiert.

A = Σ f(x) ·Δx

Ergebnis: Σ f(x) ·Δx = p· a₀ ( p = 2 · π) → a₀ = Σ f(x) ·Δx /p

Zur Bestimmung von a_j und b_j (j > 0) werden die Summen Σ f(x)·sin(j·x)·Δx und Σ f(x)·cos(j·x)·Δx ermittel. Für diese Summen sind nur die Glieder a_j ·(sin(j·x))² und b_j ·(cos(j·x))² maßgebend. Alle Summanden mit cos()·sin(), mit a₀ · sin(j·x) und a₀ · cos(j·x) , sowie die mit sin(j·x)·sin(m·x) und cos(j·x)·cos(m·x) (m≠j) haben die Werte 0. .

Σ (sin(j·x))² ·Δx = π ↔ Σf(x)·sin(j·x)·Δx = Σ a_j·(sin(j·x))² ·Δx = a_j· π

Σ (cos(j·x))² ·Δx = π ↔ Σ f(x)·cos(j·x)·Δx = Σ b_j·(cos(j·x))² ·Δx = b_j· π

↓

a_j =Σ f(x)·sin(j·x)·Δx / π, b_j = Σ f(x)·cos(j·x)·Δx / π

Allgemein gilt für eine Periodenlänge p:

a₀ = Σ f(x) ·Δx /p,       a_j =Σ f(x)·sin[ j·(2·π/p) ·x]·Δx / (p/2),      b_j = Σ f(x)·cos[ j·(2·π/p)·x)]Δx / (p/2)

Mit Beispielen können die obigen Behauptungen begründet werden.

1. Beispiel: Die Abb. 1 zeigt den Graphen von z= 4·sin(2·x)·sin(3·x) (grün) mit dem Graphen der Summe y= Σ4· sin(2·x)·sin(3·x) ·Δx (rot) entlang der Periode p = 2 ·π. Nach einer Periode hat y den Wert 0. Die y-Koordinate eines Punktes P auf der roten Kurve steht für den Flächeninhalt A der Fläche, den der Graph von z= 4·sin(2·x)·sin(3·x) (grün) bis P (siehe blaue Strecke) eingrenzt.

2. Beispiel: In der Abb. 2 ist der Graph von z= sin(x)·sin(x) und der von y= Σ sin(x)·sin(x) ·Δx zu sehen. y hat nach einer Periode den Wert π (w =pi).

Die Programmzeilen, die in https://g-hoehne.de/Sim.html zur Darstellung der Graphen eingetragen werden müssen, stehen unter den Abbildungen.

Bestimmung der a_n und b_n zu verschiedenen Funktionen

In der Abb. 3 ist der Graph zu der Funktion y=-3+0,5·x+0,75·x²-0,125·x³-0,00025·x⁴ zu sehen. Der Abschnitt innerhalb des blauen Rechtecks erstreckt sich von x= -2 bis x =5,9. Er wird als Periode einer periodischen Funktion mit p = 7,9 aufgefasst.

Zu ihm werden mit https://g-hoehne.de/Rechner.php a₀ = Σ f(x) ·Δx /p und die die a_j und b_j (j>0) nach, a_j =Σ f(x)·sin(j·(2·π/p) ·x)·Δx / (p/2), b_j = Σf(x)·cos(j·(2·π/p)·x)·Δx / (p/2) bestimmt.

Abb.3

In das Rechenfenster von https://g-hoehne.de/Rechner.php wird zur Bestimmung von a₀ das Programm „n=5,92;p=7,92;h=0,001;a=a+(-3+0,5*t+0,75*t^2-0,125*t^3-0,00025*t^4)*h;l=t;t=t+h;x=a/p:“ und im Variablenfeld für t der Wert -2 eingetragen. Es wird gestartet, wenn „mit Wiederholung“ angeklickt ist. Mit dem Doppelpunkt am Ende der Programmzeile wird der Rechner angewiesen nur das Ergebnis des letzten Programmdurchlaufs in das Tabellenfenster von https://g-hoehne.de/Rechner.php einzutragen.

Ergebnis: x= a₀ = -0,047690785878298 (1. Wert der folgenden Tabelle). Das folgende Programm wird zur Bestimmung der a_j und b_j (j>0) in das Rechenfenster und eingetragen.

n=5,92;p=7,92;h=0,001;a=a+(-3+0,5*t+0,75*t^2-0,125*t^3-0,00025*t^4)*sin(j*2*pi/p*t)*h;
b=b+(-3+0,5*t+0,75*t^2-0,125*t^3-0,00025*t^4)*cos(j*2*pi/p*t)*h;x=a*2/p; y=b*2/p;L=t;t=t+h;:

In dem hier vorliegenden Fall wird es mit t = -2 viermal gestartet (mit Wiederholung!), zunächst mit j = 1, dann mit j = 2 und schließlich mit j = 4 (im Variablenfeld !). Die dabei errechneten a_j; b_j - Wertepaare werden vom Rechner in das Tabellenfenster unter den ersten Eintrag geschrieben. Es entsteht eine Tabelle, wie sie unter dieser Zeile zu sehen ist.