Über die Abnahme der Fallhöhe eines hüpfenden Tischtennisballs

Ein Tischtennisball falle aus einer Höhe h1 auf eine harte ebene Platte, er steigt danach wieder auf , erreicht eine Höhe h2, aus der er wieder auf die Platte fällt.

Wie verhält sich h2 zu h1 ?

Ist h2/h1 unabhängig von der Fallhöhe h1 ?

Wie groß ist die Höhenabnahme (h1 – h2) /h1 nach einem Aufschlag ?

Zur Beantwortung dieser Fragen wurde das im Folgenden beschriebene Experiment durchgeführt.


Ein Tischtennisball wird aus 26,5 cm Höhe über einer Platte aus Hartholz (Buche) fallen gelassen. Danach hüpft er mehrfach auf der Platte auf und nieder. Jeder Aufschlag erzeugte ein akustisches Signal S, welches mit dem Audioprogramm Audacity registriert wird. (Das Programm Audacity kann als Freeware aus dem Internet heruntergeladen werden). Die Zeit die nach dem Start des Programms bis zu einem solchen Signal S vergeht kann am unteren Rand des Programmfenster abgelesen werden. Zuvor muss der Beginn des im Programmfenster sichtbaren Signals S angeklickt werden (siehe Abb. 1).

Abb.1

n

t/s

h/cm

p = hn+1/hn

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


0,414

0,366

0,33

0,296

0,264

0,236

0,207

0,177

0,156

0,148

26,5

20,996

16,409

13,340

10,732

8,537

6,822

5,249

3,837

2,981

2,683


0,7923

0,7815

0,8129

0,8045

0,7954

0,7991

0,7693

0,7311

0,7767

0,9000


Aus zwei hintereinander folgenden Zeiten t1 , t2 kann die Fallhöhe h zu dem Fall zwischen diesen beiden Zeiten berechnet werden. ( t1 – t2) /2 ist die Fallzeit t aus der Höhe, welche der Ball zwischen t1 und t2 erreicht, denn die Zeit des Aufstiegs und die des Fall stimmten überein.

h = (g/2)· t2

g = Fallbeschleunigung

In der 2. Spalte der Tabelle unter der Abb.1 ist die Zeit zwischen dem 1. und 2., dann die zwischen dem 2. und 3. Aufschlag usw. eingetragen. In der 3. Spalte steht oben die Höhe zu Beginn des Experiments, danach kommen die aus den Zeiten t nach h = (g/2)· t2 berechneten Höhen. Die 3. Spalte enthält die Verhältnisse hn+1/hn aufeinanderfolgender Höhen. Die geringen Schwankungen der Werte hn+1/hn ( Mittelwert P = 0,796) sprechen dafür, dass hn+1/hn unabhängig von der Höhe hn ist.

hn+1/hn = Konstante P = 0,796 → (h1 – h2) /h1 = 0,204 = 20,4%

Mit jedem Aufschlag verliert der Ball ca. 20% seiner Energie. Dementsprechend nimmt die Geschwindigkeit um 11% ab (entspricht Literaturangaben).

In der Abb. 2 sind die Höhen h0 , h1, h2 …...hn in Abhängigkeit von n darstellt (h0 = 26,5 cm). Die blauen Kreuze stellen die Messwerte dar, sie haben die Koordinaten (0; 26,5), (1; 20,996)......(n; hn). Die rote Kurve ist der Graph zur Funktion y = 26,5· Px (x=n, y= h).

Abb.2

Wie ist die Aufstellung dieser Exponentialfunktion zu verstehen ?

Nach dem ersten Aufschlag gilt nach h1 / h0 = P ↔ h1 = P·h0, nach dem zweiten h2 = P·h1 und nach dem dritten h3 = P·h2.

↓

h2 = P·h1 = P·(P· h0) = h0· P2 , h3 = P·h2 = P· (h0· P2) = h0· P3

Diese Schlüsse von n auf n+1 können bis zu hn fortgesetzt werden. Ergebnis: hn = h0 · Pn.