3. Die Bestimmung der Loschmidtzahl anhand der Brownsche Molekularbewegung

Bei der Herleitung von p·V = (2/3)·n· m· v²_m / 2 wurde vorausgesetzt, dass kleine Teilchen (Moleküle) auf die Behälterwand stoßen. Für diese Vermutung spricht die Brownsche Molekularbewegung. Es handelt sich dabei um die Zitterbewegung, die an kleinen Fetttröpfchen in verdünnter Milch oder an schwebenden Rauchteilchen unter einem Mikroskop erkennbar ist. Die ruckartigen Bewegungsänderungen derartiger Teilchen weisen auf Stöße unsichtbarer Moleküle hin. Man kann davon ausgehen, dass ein Rauchteilchen die gleiche mittlere kinetische Energie wie die sie umgebenden Moleküle hat, dass als also gilt:

m· v²_m / 2 = 3·K·T/2    →   m· v_x²_m / 2 = K·T/2   →   m· v_x²_m = K·T .

Die Berechnung von K und L ist möglich, wenn es gelingt, anhand seiner Zitterbewegung seine kinetische Energie zu bestimmen.

Wie kann man am Verhalten des Rauchteilchen erkennen, ob es von sehr vielen oder wenigen Molekülen umgeben ist ?

Bei wenigen Molekülen wird es eher längere Strecken während einer vorgegebenen Zeit τ in Richtung einer gedachten waagrechten x-Achse ungehindert zurücklegen als bei vielen Molekülen. So könnte man meinen, dass der Mittelwert aus den in τ zurückgelegten Strecken über die Molekülkonzentration Auskunft gibt. Da die Bewegungen nach links wie nach rechts gleich häufig sind, der Mittelwert der x(τ) somit nahe 0 liegt, erscheint der Mittelwert aus den x(τ)² geeigneter. Deshalb muss man sich um eine Gleichung für x(t)² oder dessen Ableitung bemühen.

Wenn wir etwas Größeres, z.B. eine kleine Seifenblase mit der Massen m und dem Radius r zum Gegenstand unserer Untersuchung machen, dann stellen wir fest, dass eine solche Blase in ruhiger Luft gleichförmig zu Boden sinkt.

Die umgebenden Moleküle bewirken durch ihre Stöße auf die Blase eine deren Gewichtskraft m·g entgegenwirkende Kraft F_B , die proportional der Sinkgeschwindigkeit v und dem Radius r ist.

F_B = - α·v·r

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft der Bewegung entgegen wirkt.

Bei gleichförmigen Absinken gilt: m·g = α·v·r   → α = m·g / ( v·r).

Für eine kleine Seifenblase kann deshalb geschrieben werden:

Es kann davon ausgegangen werden, dass diese Gleichungen auch für Rauchteilchen mit dem Radius r gelten.

Man stelle sich viele gleiche Rauchteilchen mit dem Radius r und der jeweils die zugehörenden Gleichung vor. Die Mittelwerte der linken und rechten Terme innerhalb dieser Gleichungen werden durch die quadratischen Glieder dieser Terme bestimmt. Die Mittelwerte aus den anderen Teilen, die zwischen positiven und negativen Werten hin und her schwanken, können gleich 0 gesetzt werden.

Mit Hilfe der hier hergeleiteten Gleichung ( nach Langevin) wurde für L ermittelt: L = 6,024·10²³ Teilchen/Mol