Produktregel der Differentiation

Die Funktion sei als Produkt gegeben:

y = f(x) · g(x)

In diesem Fall gilt:

y’ = df(x)/dx · g(x) + f(x) · dg(x)/ d(x)

Beispiel : y = x² · sin(x)

y’ = 2· x · sin(x) + x² · cos(x)

Beweis:

y = f(x) · g(x)

y_x = f(x) · g(x),   y_x+Δx = f(x+ Δx) · g(x+Δx)

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x+Δx) - f(x) · g(x) ] / Δx

Δy/Δx = [ f(x+ Δx) · g(x+Δx) - f(x) · g(x+ Δx) + f(x) · g(x+ Δx) - f(x) · g(x)  ] / Δx

Δy/Δx = [f(x+ Δx) - f(x)] / Δx  · g(x+ Δx) + f(x) · [g(x+ Δx) - g(x)] / Δx

lim Δy/Δx =  lim  [f(x+ Δx) - f(x)] / Δx  · lim g(x+ Δx) + f(x) · lim [g(x+ Δx) - g(x)] / Δx

dy/dx = df(x)/dx · g(x) + f(x) · dg(x) / dx