Der mittlere Fehler des Mittelwerts (Standardabweichung des Mittelwerts)

Mittelwerte von Messwerten schwanken weniger als die Einzelwerte aus denen sie gebildet werden.

Kann von der Varianz σ² der einzelnen Messwerte auf die Varianz σ_M² des Mittelwerts geschlossen werden ?

Vermutlich gilt für einen Mittelwert aus n Einzelwerten: σ_M² = σ² /n.

Beweis:

Werden n Messwerte mit den Fehlern f₁ , f₂........f_n gemittelt, dann ist (f₁+f₂......+f_n)/ n der zu einem Mittelwert gehörende Fehler. Für die quadratische Abweichung eines Mittelwerts gilt:

[(f₁+f₂......+f_n)/n]² = [f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n² + 2·(f₁·f₂ + f₁·f₃ + f₁·f₄ ..+ f₂·f₃ + f₂·f₄ + f₂·f₅ …..)]/ n²

Das Produkt f_i · f_j ist genauso wahrscheinlich wie das Produkt -f_i · f_j . Deshalb gilt bei einer sehr großen Zahl von Messwerten: Bei der Mittelwertbildung von [(f₁+f₂......+f_n)/n]² heben sich diese Produkte in den runden Klammern gegenseitig auf.

↓

Σ[(f₁+f₂......+f_n)/n]² = Σ(f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n²)/ n²

σ_M² = Σ[(f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n²)/ n²]/n = Σ[(f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n²)/ n]/ n²

(f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n²)/ n = Varianz von n Messwerten (σ₁² oder σ₂² oder σ₃²....)

σ² = Mittelwert aus den Varianzen σ₁² , σ₂² , σ₃²....der Messwerte von je n Messungen

σ_M² = Σ[(f₁² + f₂² + f₃² ….+ f_n²)/ n]/n² = (n·σ² ) / n² = σ² / n

Es wird davon ausgegangen, dass σ₁² , σ₂² , σ₃².... nur wenig voneinander abweichen, so dass z.B. σ₁² als σ² genommen werden kann.

σ² ist normalerweise die Varianz in Bezug auf einen Mittelwert vieler Messwerte und nicht in Bezug auf einen „wahren Wert“ , denn Letzterer ist in der Regel unbekannt. Die mittlere Fehler in Bezug auf den „wahren Wert“ soll σ und der entsprechende Fehler in Bezug auf den Mittelwert soll σ' heißen.

Kann die Differenz zwischen σ' und σ geschätzt werden ?

f sei die Abweichung eines Messwertes vom „wahren Wert“ und f ' sei die Abweichung von einem aus n Messwerten gebildeten Mittelwert.

f = f ' + d , d ist die Abweichung des Mittelwerts vom wahren Wert. Für die Summe aller Fehler f_i gilt:

Σf_i ² = Σ (f '_i + d_i)² = Σf '_i ² + Σ2·d_i ·f '_i + Σd_i ²

Σ2·d_i ·f '_i kann bei sehr vielen Messwerten gleich 0 gesetzt werden, denn ein Produkt d·f ' genauso wahrscheinlich ist wie ein Produkt – d·f '.

Σf_i ²/n = Σf '_i ²/n + Σd_i ²/n → σ² = σ'² + σ_M²

σ_M² = σ² / n

↓

σ² = σ'² + σ² / n → σ² · (1-1/n) = σ'² → σ² /n = σ'² /(n-1) → σ_M² = σ'² /(n-1)

Programm zur Berechnung der Standardabweichung