4.4 Die Ausgleichsgerade
Der Fehler F sei eine Summe aus einem zufälligen Fehlern f und einem systematischen Fehler d.
Es gilt:
Die Summe aus den Quadraten der Fehler F ist größer als
die Summe aus den Quadraten der durch Zufall bedingten Anteile f.
Beweis:
F2 = f2 + d2 + 2·f·d
F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2= f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2 + n ·d2 + 2· d ·(f1 + f2 + f3 + f4 …..+ fn )
(f1 + f2 + f3 + f4 …..+ fn ) = 0
↓
F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2= f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2 + n ·d2
↓
F12 + F22 + F32 + F42 …...+ Fn2 > f12 + f22 + f32 + f42 …..+ fn2
Diese Tatsache nutzen wir zur Lösung des folgenden Problems:
Die in der Abb. 1 dargestellten Punkte sollten nach theoretischen Überlegungen auf einer Geraden liegen. Infolge von Messfehlern ist dies jedoch nicht der Fall.
Es wird eine Methode gesucht, nach der die von der Theorie vorausgesagte Gerade y = m· x + b möglichst genau bestimmt werden kann. Eine falsche Wahl von m und t hätte zur Folge, dass die Abweichungen von der Geraden mit einem systematischen Fehler behaftet sind und dass dementsprechend deren Varianz größer ist als die der zufälligen Abweichungen.
Der am Seitenanfang formulierte Satz gibt Anlass zu folgendem Vorgehen:
Die Variablen b und m in der Geradengleichung y = m· x + b werden so bestimmt , dass die Summe aus den Quadraten der Abweichungen ε1, ε2 ….. der Messpunkte minimal ist (siehe Abb. 2).
Σε2 = Minimum
Eine solche Gerade heißt Ausgleichsgerade.
Zu den x- Werten x1 , x2 , x3 , ….. seien die y-Werte y1 , y2 , y3 , ….. gemessen worden. m und b sind so zu bestimmen , dass die Summe s= (y1 - m· x1 – b)2 + (y2 - m· x2 – b)2 + (y3 - m· x3 – b)2 +... minimal ist.
Für das Minimum gilt: ∂S/∂m = 0 und ∂S/∂b = 0.
∂S/∂m = -2·Σ[xi · (yi - m · xi - b )], ∂S/∂b = -2·Σ (yi - m · xi - b )
∂S/∂m = 0 und ∂S/∂b = 0 → Σ[xi · (yi - m · xi - b )] = 0 , Σ (yi - m · xi - b ) =0,
↓
Mw( xi · yi ) - m · Mw( xi2) - b · Mw( xi ) = 0 , Mw( xi ) ist der Mittelwert aller xi !
Mw( yi ) - m · Mw( xi ) - b = 0
Mw( xi · yi ) = d, Mw( xi2) = g, Mw( xi ) = k, Mw( yi ) = p
↓
d – m · g - b · k =0
p – m · k – b = 0
↓
b = (d· k - p· g) / ( k2 – g), m = (p· k - d) / ( k2 – g)
Rechenbeispiel
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Im Tabellenfenster des hier vorhandenen Rechenprogramms werden die Punktkoordinaten in der linken Spalte und in das Rechenfenster wird die folgende Programmzeile eingetragen. Die Punkte sollten auf einer Geraden liegen. n=11;L=L+1;a=a+xT(L)*yT(L); d=a/L;f=f+xT(L)^2;g=f/L;h=h+xT(L);k=h/L;r=r+yT(L);p=r/L; b=(d*k-p*g)/(k^2-g); m=(p*k-d)/(k^2-g) m und b werden ausgerechnet, wenn nach der Einstellung auf „ Mit Wiederholung“ der Gleichheitszeichenbutton „=“ angeklickt wird. Zu den angegebenen Koordinaten erhält man: b = 1,29 und m = 0,99 . |
Die nachfolgende Grafik wurde mit dem hier gegebenen Grafikprogramm erzeugt. Die Ausgleichsgerade y = 0,99·x + 1,29 ist zusammen mit den Punkten zu sehen, deren Koordinaten in der Tabelle stehen.