Fehler von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten

4.3 Fehler von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten

4.3.1 Die Varianz einer Summe und einer Differenz

Abb. 1

Die Seiten a, b, c, d, e des Fünfecks werden mit den Varianzen σ_a² , σ_b² , σ_c² , σ_d² und σ_e²gemessen_.

Behauptung: Für die Varianz des Umfangs gilt: σ_U² = σ_a² + σ_b² + σ_c² + σ_d² + σ_e²_.

Diese Behauptung ist dann richtig, wenn die Varianz einer Summe a+b gleich der Summe aus den Varianzen der Summanden ist.

σ_a+b² = σ_a² + σ_b²

Beweis der Behauptung: σ_a+b² = σ_a² + σ_b²

Der Messfehler von a sei f_a und der von b sei f_b. Der Messfehler von a+b ist f_a + f_b.

f_a+b² = (f_a + f_b)² = f_a² + f_b² + 2 · f_a· f_b

Für die Varianz von a+b gilt: σ_a+b² = Σf_a+b² /n = ( Σf_a² + Σf_b² + Σ2 · f_a· f_b)/ n (n: Zahl der Messwerte).

Σ2 · f_a· f_b kann gleich 0 gesetzt werden, denn bei einer großen Zahl von Messwerten ist die Wahrscheinlichkeit für ein Produkt f_a· f_b genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für ein Produkte -f_a· f_b.

Somit kann geschrieben werden: Σ(f_a + f_b)²= Σ f_a² + Σ f_b².

↓

σ_a+b² = σ_a² + σ_b²

σ_a² + σ_b² ist auch die Varianz σ_a-b² einer Differenz a-b.

Begründung: (f_a - f_b)² = f_a² + f_b² - 2 · f_a· f_b

4.3.2 Die Varianz eines Produkts und eines Quotienten

Bei Produkten a· b und Quotienten a/b ist die Berechnung der zugehörigen Varianzen σ_a·b² und σ_a/b² aus σ_a² und σ_b² nicht so einfach, weil die Fehler dieser Terme nicht durch Addition bzw. Subtraktion aus den Fehlern ihrer Glieder berechnet werden können. Ein einfaches Additions– bzw. Subtraktionsgesetz gilt jedoch für Fehler der Verhältnisse a* = a/a_M und b* = b/b_M .

a und b sind einzelne Messwerte, a_M und b_M sind die wahren Größenwerte bzw. Mittelwerte einer großen Zahl von a und b,.

a*(wahr) = b*(wahr) =1

Beweis der Behauptung:

f_a*·b* = (1 + f_a*) · (1 + f_b* ) – 1 = f_a* + f_b* + f_a* · f_b*

Die Fehler sind Abweichungen von 1 !

f_a* · f_b* ist gegenüber f_a* + f_b* vernachlässigbar klein. → f_a*·b* ≈ f_a* + f_b*

f_a*/
b* = (1 + f_a*) / (1 + f_b* ) – 1 = ( f_a* - f_b* ) / (1 - f_b*)

f_b* ist gegenüber 1 vernachlässigbar klein. → f_a*/
b* ≈ f_a* - f_b*

_↓

σ_a*·b*² = σ_a*² + σ_b*² ; σ_a*/b*² = σ_a*² + σ_b*²