­4.2 Varianz und Standardabweichung

Es ist nun zu verstehen, dass ein einzelner Messwert nicht zur Beschreibung einer Größe (Länge, Kraft, Wahrscheinlichkeit ...) geeignet ist. Auch ein Mittelwert M vermittelt nur dann eine Vorstellung von einer Größe, wenn  neben ihm noch eine Angabe über den möglichen zufälligen Fehler gemacht wird.

Wie soll dies geschehen ?

Zu dieser Frage ist ein Messbeispiel hilfreich. Es vermittelt ein Bild über die Verteilung zufälliger Fehler. Das folgende Experiment ist als Beispiel geeignet. Es werden dabei Mittelwerte aus relativen Häufigkeiten (Messwerten der Wahrscheinlichkeit) gebildet.

Das Programm P₁ unter diesen Zeilen wird in das Rechenfenster der Internetseite Rechner.html eingetragen. Ist auf dieser Seite „Mit Wiederholung“ eingestellt, dann wird nach Anklicken des Gleichheitszeichenbuttons 10000 mal ein Würfelspiel mit jeweils 40 Würfen simuliert (Ergebnisse sind die gleich wahrscheinlichen Zahlen von 1 bis 6).

zuf(6) erzeugt diese Zufallsergebnisse. Zu den jeweils 40 Würfen werden die absoluten Häufigkeiten z einer 6 sowie die relativen Häufigkeiten x = z/40 bestimmt.

Mit dem zweiten Teil des Programms wird zunächst die Zahl a der relativen Häufigkeiten x < 0,025 ermittelt, dann die Zahl b der relativen Häufigkeiten x (0,025≤ x <0,05), dann die Zahl c der relativen x (0,5≤ x <0,75) usw. . Zur Zählung wird die Funktion st1(x) genutzt. Sie liefert im Fall (0 ≤ x<1) für x den Wert 1 und andernfalls den Wert 0.

Mit st1((x)/0,025)+a=st1((x)*40)+a werden die demnach relativen Häufigkeiten x (0 ≤ x <0,025) gezählt und mit b=st1((x-0,025)*40)+b alle Werte x (0,025 ≤ x <0,05) usw..
P₁:

n=10000;l=l+1;z=0;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;v=z/40;

a=st1((v)*40)+a;b=st1((v-0,025)*40)+b;c=st1((v-0,05)*40)+c;d=st1((v-0,075)*40)+d;f=st1((v-0,1)*40)+f; g=st1((v-0,125)*40)+g;h=st1((v-0,150)*40)+h;i=st1((v-0,175)*40)+i;j=st1((v-0,2)*40)+j;k=st1((v-0,225)*40)+k;m=st1((v-0,25)*40)+m;o=st1((v-0,275)*40)+o;p=st1((v-0,3)*40)+p;q=st1((v-0,325)*40)+q;r=st1((v-0,35)*40)+r;s=st1((v-0,375)*40)+s;t=st1((v-0,4)*40)+t;

P₁ wird nach seinem Ablauf gelöscht, das Tabellenfenster geleert und im Variablenfeld L auf 0 gesetzt. Danach wird das folgende Programm P₂ in das Programmfenster übertragen (kopieren/einfügen).

P2: 

n=17;y=st1(L)*a+st1(L-0.1)*b+st1(L-1,1)*c+st1(L-2,1)*d+st1(L-3,1)*f+st1(L-4,1)*g+st1(L-5,1)*h+st1(L-6,1)*i+st1(L-7,1)*j+st1(L-8,1)*k+st1(L-9,1)*m+st1(L-10,1)*o+st1(L-11,1)*p+st1(L-12,1)*q+st1(L-13,1)*r+st1(L-14,1)*s+st1(L-15,1)*t;L=L+1;x=L*0,025;

Mit diesen Zeilen wird im Tabellenfenster eine Tabelle erstellt, wie sie neben der Abb.1 zu sehen ist.

Erläuterung: Mit L = 0 wird der Wert von a (st1(0) =1) , mit L = 1 (st1(1- 0,1) = st1(0,9) =1) der von b , mit L = 2 (st1(2-1,1) =st1(0,9) =1) der von c usw.. in das Tabellenfenster eingetragen.

Die erste Zeile dieser Tabelle zeigt an, dass 58 mal x=z/40 kleiner als 0,025 ist. Dann ist zu sehen, dass x ( 0,025 ≤ x<0,05) 206 mal und x (0,05 ≤ x<0,075) 527 mal vorkommt usw.. Diese Tabelle wird zur grafischen Darstellung in das Tabellenfenster des hier vorhandenen Grafikprogramms Sim.html übertragen. Mit diesem Programm werden nicht nur die Wertepaare der obigen Tabelle dargestellt, es wird auch noch der Graph der Funktion y= 1700*exp(-145*(x-0,166)^2) diesen Kreuzen angepasst (siehe Abb.1). Das P hinter die erste Tabellenzeile bewirkt, dass die Wertepaare durch Kreuze dargestellt werden !

Die Wertepaare passen gut zu der Exponentialfunktion, die durch eine Glockenkurve dargestellt wird. Diese Kurve hat ihr Maximum über dem Mittelwert 0,166.. = 1/6 aller relativen Häufigkeiten x .

Es wird davon ausgegangen, dass eine exponentiellen Fehlerverteilung nach A·e^{-b·f^2} ( f = x-0,166) für jede Art von Messung gilt, weshalb es sinnvoll erscheint, an ihr ein geeignetes Maß für deren Ungenauigkeit zu suchen. Je breiter die Kurve ist, desto größer sind die Abweichungen der Messwerte. Aus einer Angabe ihrer Breite kann auf die Genauigkeit der Messwerte geschlossen werden. In welcher Höhe sollte die Breite gemessen werden. Die Breitenbestimmung muss zwischen eindeutig definierten Punkten geschehen. In Frage kommen die Wendepunkte der Glockenkurve,

Wendepunkt: Übergang von einer Rechtskurve in eine Linkskurve bzw. einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Die 1. Ableitung von f(x) hat an einem Wendepunkt ein Extremum.

Der Abstand B der Wendepunkte kann nur dann als sinnvolles Maß für die Genauigkeit der Messwerte eingeführt werden, wenn mit einer zumutbaren Zahl von Messwerten ohne großen Aufwand auf B geschlossen werden kann. Dies ist möglich, denn es kann mit Hilfe des Programms P₃ gezeigt werden, dass (B/2)² gleich dem Mittelwert aus den Quadraten der Fehler f (f = x-wahrer Wert W) ist.

B/2 = σ (Sigma) = √ (Mittelwert von f²)

Der Mittelwert von f² heißt Varianz der Messwerte und σ , die Wurzel daraus, heißt Standardabweichung oder mittlerer Fehler .

P₃:

 n=10000;l=l+1;z=0;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;v=z/40;u=(v-0,166)^2+u;w=u/10000; M =wrz(w)

Mit diesem Programm wird für die Varianz w= 0,00346522 und für die Wurzel M =wrz(w) aus dem Mittelwert von f² der Wert 0,058866 gefunden. Dieser Wert stimmt mit dem an dem Graphen ablesbaren Wert B/2 überein.

Wie viele Werte unter den 10000 relativen Häufigkeiten haben ein f (|f| ≤ σ) ?

Zur Beantwortung dieser Frage wird das folgende Programm P₄ in das Rechenfenster der schon mehrfach genannten Internetseite eingefügt. Es liefert den Wert 69%. Demnach haben ca. 69% aller Messwerte ( relativen Häufigkeiten) einen Fehler ≤ σ

P₄: 

n=10000;l=l+1;z=0;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;v=z/40;u=st1((v-0,16666666)^2/0,00346522)+u;w=u/10000

Für die Aussage, dass Messfehler nach A·e^{-b·f^2} verteilt sind, sprechen auch die Ergebnisse des folgenden Experiments (siehe Abb.2). Ein 2000 Hz - Ton wird mit einem Mikrofon aufgenommen. Gegen dieses auf maximal ±1,5V verstärkte elektrische Signal des Mikrofons wird eine Gegenspannung angelegt, so dass die schwankenden positiven Spannungsspitzen des Signals unter 0,3 V bzw. 0,5V bleiben (siehe Abb.3 ). So können die Höhen der Spannungsspitzen in den empfindlichen Messbereichen ±1V und ± 0,3 Volt gemessen werden, in denen die Schwankungen des Messsignals gut erkennbar sind. Je Sekunde werden 2000 Spannungsspitzen gemessen. Der Messbereich wird vom Rechner in 256 gleich große Intervalle aufgeteilt. Über jedem Intervall errichtet der an das CASSY-E angeschlossene Rechner auf seinem Bildschirm eine senkrechte Strecke, deren Länge proportional zur Zahl der Messwerte ist, die je Sekunde in dieses Intervall fallen (Zahl aller Messwerte im Intervall / Zeit der Messwertaufnahme).

Abb.2

Abb.3

In den Abb. 4 und 5 sind Ergebnisse dargestellt, die im Messbereich ±1V aufgenommen wurden. Deutlich ist zu sehen, wie die Diagramme mit zunehmender Anzahl von Messungen mehr und mehr eine Glockenform annehmen.

Abb. 4

Abb. 5

Eine mathematische Untersuchung wird an dem Diagramm in Abb. 6 durchgeführt. Diese Verteilungskurve zu 1000000 Messungen, welche die Spitzen der erwähnten Strecken verbindet (hier unsichtbar), wurde mit der Gegenspannung -1,374V in dem Messbereich ±0,3V aufgenommen. Auch auf diese Kurve passt ein Graph der Form f(x) = A·e^{-b·(x-W)^2} . f(x) steht für die Zahl der Messwerte einem Intervall um einen Messwert x. W ist der „wahre Wert“ 0,126 V und (x-W) ist der Fehler f des Messwerts.

Für B/2 = σ (Sigma) gilt auch in diesem Fall; σ = √ (Mittelwert von f²) .

Die geschweifte Kurve unterhalb der Glockenkurve beschreibt die 1. Ableitung der Exponentialfunktion, Ihr Maximum und ihr Minimum weist auf die Wendepunkte hin, An den Wendepunkten ist der Graph am steilsten. Demnach ist die 2.Ableitung der Exponentialfunktion an den Wendepunkten gleich 0. Diese Tatsache ermöglicht die Berechnung von σ .

y = f(x) = A·e^{-b·(x-W)^2} , y' = -A · 2 · b· (x-W)·e^{-b·(x-W)^2} ; y'' = -A · 2 · b · e^{-b·(x-W)^2} + A · 4· b² ·(x-W) ²·e^{-b·(x-W)^2}

An den Wendepunkten mit (x- W)² = σ² gilt: y'' =0.

y'' = -A · 2 · b · e^{-b· σ^2} + A · 4· b² ·σ ²·e^{-b· σ^2} = 0 → 1 = 2 · b· σ² → σ = √( 1/( 2 · b))

b = 280 → σ = 0,042 V

Dieser Wert gleicht dem am Diagramm messbaren σ.

In A·e^{-b·f^2} kann b durch 0,5 · 1/ σ² ersetzt werden

A·e^{-b·f^2} = A·e^{- 0,5 · (f/ σ)^2}

f/σ heißt standardisierter Zufallsfehler fs.

A·e^{-b·f^2} = A·e^{- 0,5 · fs^2}

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler |f|≤ σ bzw. |f_s| ≤ 1?

Die Wahrscheinlichkeit p, mit der ein Messwert mit einem Fehler |f_s| ≤1 behaftet ist, erhält man, indem man die Zahl der zum Intervall (-1 ≤f_s<=1) gehörenden Messwerte y durch die Zahl aller Messwerte z teilt ( P =y/z). Hierbei wird eine sehr große Zahl von Messwerten vorausgesetzt.

Mit steigender Zahl von Messwerten z passt sich das Diagramm zur Häufigkeitsverteilung immer besser dem A·e^{-0,5·fs^2} - Graphen an. Daraus kann geschlossen werden, dass die relative Häufigkeit y/z für ein Ereignis mit |f_s| ≤ 1 mit steigender Zahl der Messwerte gegen den Quotienten B/C strebt. B ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Intervall [-1; +1] und der Glockenkurve. C ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen der x-Achse und der Glockenkurve.

Abb.8

Wahrscheinlichkeit p = B/C = b/ c, b=B/2, c= C/2

Die Berechnung von b und c geschieht nach Einstellung auf „mit Wiederholung“ mit den Programmen P5 und P6.

P₅:

n=1;b=exp(-0,5*(x+0,005)^2)*0,01+b; x=x+0,01;l=x;

P₆:

n=5;b=exp(-0,5*(x+0,005)^2)*0,01+b; x=x+0,01;l=x;

Mit P₅ und P₆ werden Flächeninhalte von Rechtecken summiert. Die x-Achse wird von x =0 bis x = 5 in Intervalle der Länge 0,01 aufgeteilt. Über jedem Intervall wird ein Rechteck errichtet, welches über der Mitte des Intervalls an den Graphen von y = e ^{-0,5*x^2} stößt. Mit P₅ werden die Flächeninhalte aller Rechtecke summiert die auf dem Intervall [0;1] stehen. Die Summe kann mit b gleichgesetzt werden. Mit P₆ werden die Flächeninhalte aller Rechtecke summiert die auf dem Intervall [0;5] stehen. Die Summe kann mit c gleichgesetzt werden.

Die angegebenen Programme liefern für b =0,085 und für 1,253313418864 → b/c = 0,067820226545602≈ 68%

Im Fall A<> 1gilt: b/c = (A· 0,085)/(A· 1,253313418864) = 0,085/ 1,253313418864

Die Wahrscheinlichkeit p ist unabhängig von A ≈ 68%

Ergebnis:

Bei sehr vielen Messwerten fallen 68% der Werte in den Bereich W± σ. Das heißt ein Messwert M hat mit der Wahrscheinlichkeit 0,68 einen Fehler f mit einem Betrag ≤ σ.

Die Angabe eines Messwertes M mit „ M ± σ“ zeigt an, dass der Messwert M mit der Wahrscheinlichkeit 0,68 höchstens σ vom wahren Wert entfernt ist.

Der mittlere Fehler des Mittelwerts