Wenn sich zwei Personen bemühen, die Breite einer Holzlatte mit einem Zollstocke auf 0,1 mm genau zu messen, dann wird ihnen bewusst, dass ihre Messwerte unsicher sind. Die eine Person wird möglicherweise 23,5 mm die andere aber 23,3 mm angeben. Bei der Messung der Kraft, die eine Kugel in einem Luftstrom erfährt, oder bei der Bestimmung der Reißkraft ( Reißfestigkeit ) einer Textilfaser wird die Unsicherheit bezüglich eines richtigen Messwerts noch größer. In diesem Fall verursachen Unregelmäßigkeiten der Luftströmung bzw. Materialunterschiede große Schwankungen der Messergebnisse. Da die einzelnen Messwerte stark voneinander abweichen, ist mit der Angabe eines Messwertes keine befriedigende Beschreibung der Kraft gegeben. Besser ist der Mittelwert aus einer Vielzahl von Messergebnissen. Die Abweichungen verschiedener Mittelwerte voneinander werden umso geringer, je mehr Messergebnisse zur Bildung eines Mittelwerts herangezogen werden. Durch Mittelwertbildung erhält man demnach zuverlässigere Werte.
Wenn Mittelwerte M aus n Messwerten, mit steigendem n immer enger zusammenrücken, dann sagt man, dass diesen Werten M eine bestimmte, in der Mitte der Mittelwerte liegende, das Messobjekt kennzeichnende physikalische Größe G („wahrer Wert“) zuzuordnen sei. Die genannten Mittelwerte beschreiben diese Größe G umso genauer, je größer n ist.
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Als Messwert kann man auch die „relative Häufigkeit“ eines bestimmten Ereignisses betrachten. Dieser Begriff soll hier an einem Beispiel erläutert werden: Ein Würfel werde 100-mal geworfen. Wenn n-mal das Ergebnis 6 erzielt wird, dann sagt man das Ereignis „6“ habe die relative Häufigkeit h = n/100. Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses E ist demnach der Quotient aus der Häufigkeit mit der E eingetreten ist und der Zahl aller Ergebnisse.
Auch für relative Häufigkeiten gilt, dass sie erheblich größeren Schwankungen unterworfen sind als ihre Mittelwerte. Je mehr Einzelwerte gemittelt werden, desto geringer sind die Unterschiede zwischen den Mittelwerten.
Die von diesen Mittelwerten eingegrenzte Größe nennt man Wahrscheinlichkeit P für das Auftreten eines Ergebnisses E.
Wenn einem Ergebnis E eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann, dann ist die relative Häufigkeit von E ein Messwert dieser Wahrscheinlichkeit P. Die relative Häufigkeit verhält sich zur Wahrscheinlichkeit wie ein Längenmesswert zu einer Länge. Die Wahrscheinlichkeit ist das Merkmal eines Zufallsexperiments, eines beliebig oft wiederholbaren Vorgangs mit unbestimmtem Ergebnis.
Der hier vorhandene Onlinerechner berechnet mit dem nachfolgenden Programm relative Häufigkeiten des Ergebnisses „6“ für den Fall, dass 40 mal Zahlen von 1 bis 6 gewürfelt werden.
zuf(6) erzeugt eine Zufallszahl zwischen 1 und 6. int(zuf(6)/6) liefert eine 1 wenn das Ergebnis 6 ist und andernfalls eine 0. Mit a=int(zuf(6)/6)+a werden die Ergebnisse „6“ addiert. x= a/40 steht für die relative Häufigkeit von „6“ nach 40 Würfen. Mit n=10000;l=l+1 werden 10000 relative Häufigkeiten in das Tabellenfenster geschrieben. Mit b=b+x werden die relativen Häufigkeiten addiert und mit c=b/10000 deren Mittelwert gebildet.
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n=10000;l=l+1;z=0;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z; z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;z=int(zuf(6)/6)+z;x=z/40;b=b+x;m=b/10000
0,16615; 0,16561; 0,1662175; 0,1671275, 0,1670352 sind auf diese Weise gewonnene Mittelwerte m. Sie schließen den Wert 1/6 = 0,166666... ein. 1/6 ist demnach die Wahrscheinlichkeit P für das Ergebnis 6.
Die genannten Mittelwerte m können auch als relative Häufigkeiten für das Ergebnis 6 nach 400000 Würfen gesehen werden.
Begründung:
10000 mal werden jeweils 40 Zufallszahlen gebildet. a1, a2, .... a10000 seien die absoluten Häufigkeiten der „6“ unter diesen 40 Zufallszahlen.
m = ( a1/40 + a2/40 +........a10000/40 ) / 10000 = [( a1 + a2 +........a10000 )/40] / 10000
[( a1 + a2 +........a10000 )/40] / 10000 = ( a1 + a2 +........a10000 ) / 400000