1.3.8 Bewegung eines Läufers (Momentanbeschleunigung)

Wie bewegt sich ein Rennläufer beim Start. Zur Beantwortung dieser Frage wird die in Abb. 1 sichtbare Messanordnung verwirklicht. Der Läufer spult von der Welle eines Dynamos (anklicken !) einen Faden ab. Da die elektrische Spannung der Geschwindigkeit des Läufers proportional ist, kann das zu diesem Vorgang gehörende Zeit - Spannungs - Diagramm als ein t-v-Diagramm aufgefasst werden.

Abb. 1

Von Interesse ist die Kraft beim Anlaufen.

Zu ihrer Berechnung muss die Beschleunigung zu einem interessierenden Zeitpunkt t ermittelt werden. Am Diagramm kann die Geschwindigkeitsänderung Δv abgelesen werden, die der Läufer in einem kleinen Zeitabschnitt Δt nach t erfährt. Δv/Δt,  der Quotient aus dieser Geschwindigkeitsänderung und der zugehörenden Zeit, ist die mittlere Beschleunigung in Δt. In Abb. 1 sehen wir eine Gerade g, deren Steigung dieser mittleren Beschleunigung gleicht. Da sich die Kraft in Δt ändert, kann aus der mittleren Beschleunigung nicht auf die Kraft F zum Zeitpunkt t geschlossen werden.Δt muss so klein gemacht werden, dass sich die auf t folgende Kraftänderung kaum auswirken kann und demnach nur mit einem kleinen Fehler zu rechnen ist, wenn die Beschleunigung in Δt zur Berechnung der zum Zeitpunkt t wirkenden Kraft F genommen wird. 

Lässt man zur Verringerung dieses Fehlers Δt nach und nach gegen 0 gehen, dann strebt die mittlere Beschleunigung gegen die zu F passende Momentanbeschleunigung a. Die jeweils zugeordnete Gerade mit der Steigung Δv/Δt wird hierbei in eine Grenzlage gedreht. In dieser Grenzlage heißt sie Tangente T. An T kann die Momentanbeschleunigung bestimmt werden, die eine genaue Berechnung der Kraft F ermöglicht.

Der Grenzwert  lim Δv/Δt  (Δt → 0) wird als Momentanbeschleunigung a zum Zeitpunkt t bezeichnet.

Für lim Δv/Δt  (Δt → 0) schreiben wir dv/dt (sprich dv nach dt)

a = dv/dt

Vom t-v-Diagramm zum t-a-Diagramm

Am t-v-Diagramm können Beschleunigungen ermittelt werden. Man erhält sie, indem man Tangenten anlegt und deren Steigung bestimmt. Das in Abb. 2 sichtbare Diagramm zeigt neben dem t-v-Diagramm eines Rennläufers das zugehörende t-a-Diagramm. Es fällt die erstaunlich hohe Anfangsbeschleunigung auf. Auf den 65 kg schweren Schüler wirkten kurzzeitig etwa 4500 N.

Abb. 2