1.7.2 Fallbewegung in einer Flüssigkeit

Wir stellen uns eine in Öl fallende Eisenkugel vor (Fallbeginn zum Zeitpunkt t = 0). Der Gewichtskraft m · g wirkt eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft F_R = k ·v entgegen.. Die Geschwindigkeit wächst solange bis die Gewichtskraft gleich der Reibungskraft ist.

Wie ändert sich die Geschwindigkeit v mit der Zeit ?

F_R /v = k (Konstante)   →   F_R = k·v 

Für die Beschleunigung a gilt demnach:   m· a = m· g – k · v    →    a = g – k· v/m

Die Diagramme in der Abb. 1 zur zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit und des zurückgelegten Weges der Kugel ­ wurden mit der folgenden Zeile im Rechenfenster des hier vorhandenen Online-Grafikprogramms erhalten:

k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; t=t+h; l=x; y=c; s=c*h+s; z= m*9,81/k*t; x=t; w=s;

c= v !

Abb.1

Das rote Diagramm ist das v-t-Diagramm (y-t-Diagramm), das blaue das zugehörende s-t-Diagramm (w-t-Diagramm).

Die Endgeschwindigkeit v_Ende ist dann erreicht, wenn die Reibungskraft gleich der Gewichtskraft ist.

↓

  m ·g = k · v_Ende     →     v_Ende = m ·g / k

Hätte die Bewegung mit der Endgeschwindigkeit begonnen, dann wäre sie gleichförmig nach dem grau-grünen Diagramm (z-t-Diagramm) verlaufen.

v/ v_Ende = v·k /(m· g) steigt mit der Zeit von 0 auf 1, so wie der Term (1 - e ^{– j ·t} ).  

Möglicherweise gilt für ein bestimmtes j: v·k /(m· g) = (1 - e ^{– j ·t} ) →  v = m · g/k · (1- e ^{– j ·t}).

Je größer j ist, desto schneller wird die Endgeschwindigkeit erreicht. Es ist davon auszugehen, dass eine große Reibungskraft und eine geringe Gewichtskraft in kurzer Zeit zur Endgeschwindigkeit führen.

Vermutung: j = k/m    →  v = m · g/k · (1- e^{- (k/m) · t})

Mit der folgenden Zeile wird diese Vermutung bestätigt. Die Diagramme zu y und v(c) stimmen überein.

k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; t=t+h; l=x; y=c; s=c*h+s; z= m*9,81/k*t; v=m*9,81/k*(1-exp(-k/m*t)); u=t; x=t; w=s; 

Hätte der Körper schon zu Anfang  die Höchstgeschwindigkeit m ·g/k,  dann wäre  s = m · (g/k) ·t . Für s gilt jedoch  s < m·(g/k)·t. Die Differenz d zwischen m·(g/k)·t und dem wahren Weg s (siehe Abb. 1) wird sich vermutlich nach dem Bewegungsbeginn ähnlich wie die Geschwindigkeit zu einem Maximalwert entwickeln .

Vermutung : m · (g/ k) · t – s = r · (1 - e ^{– k · t/m} )

Der unbekannte Faktor r  muss  von m, g und k abhängen und die Einheit eines Weges haben. Vermutlich ist  r = m² / k² · g , denn m²/k² · g  hat die Einheit eines Weges.

→  s = m · g/ k · t -  m² / k² · g ·  (1 - e ^{– k · t/m} )

Zur Prüfung dieser Annahme wird das Grafikprogramm mit „k=2; m=1; h=0,01; a=9,81-k/m*c; c=c+a*h; t=t+h; l=t; y=c; s=c*h+s; z=m*9,81/k*t; v=m*9,81/k*t-m^2/k^2*9,81*(1-exp(-k*t/m)); u=t; w=s;x=t;“  gestartet. Dabei wird das ursprüngliche, blaue Weg-Zeit-Diagramm schwarz überzeichnet.