Erläuterung zum Integralbegriff

Anhand des t-v-Diagramms in den Abb. 1 – 4 soll der Weg ermittelt werden, der zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = t_E zurückgelegt wurde. Der Zeitabschnitt zwischen t₀ und t_E wird in kleine Δt eingeteilt. Wenn sich die Geschwindigkeit in einem solchen Zeitabschnitt Δt nur wenig ändert, dann kann die Wegänderung Δs in Δt durch das Produkt v·Δt ausgedrückt werden. Durch Summation aller Δs erhält man den gesuchten Weg s.

s = Δs₁ + Δs₂ + Δs₃ …..  = Σ Δs 

 Der griechische Buchstabe Σ  (Sigma) steht für „Summe aus……“.

Abb. 1

Abb. 2

Abb.3

Abb.4

Die Produkte v·Δt werden in den Diagrammen durch Flächeninhalte von Rechtecken dargestellt. Als Flächeneinheit dient ein Rechteck, dessen eine Seite der Geschwindigkeitseinheit und dessen andere Seite der Zeiteinheit entspricht.

Die in Abb. 1 angedeutete Berechnung von s ist sehr grob. Zur Verbesserung der Rechnung muss Δt verkleinert werden. An der Abb. 4 ist erkennbar, dass die Summe der Δs mit kleiner werdendem Δt gegen einen Grenzwert strebt. Dieser liegt in einem Intervall, dessen Größe gleich dem Produkt  aus Δt und der Endgeschwindigkeit v_E ist. Dieses Produkt strebt mit kleiner werdendem Δt gegen 0.

Für den Grenzwert schreiben wir

und nennen ihn Integral  v dt von  0 bis t_E .