Kosinussatz

Abb. 1

 

Zu einem Dreieck seien b, c und  α bekannt. a soll berechnet werden.

 

a2 = d2 + h2 ;  h = b · sinα

 

(c - d) / b = cos α ;    c – d = b · cos α ;   d = c – b · sin α

 

→  a2 = (  c – b · cos α )2 + (b · sin α )2

 

→   a2 = c2 – 2· c · b· cos α + b2 · cos2 α + b2 · sin2 α

 

→   a2 = c2 – 2· c · b· cos α + b2 · (cos2 α +  sin2 α );   cos2 α +  sin2 α   = 1

 

→  a2 =  b2 + c2 – 2· c · b· cos α

 

 

Subtrahiert man von der Summe aus den Quadraten zweier Seiten das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, dann erhält man das Quadrat der dritten Dreieckseite.

Kosinussatz

 

Rechenbeispiel:

b = 5cm; c = 8cm; α = 40°

a2 = 25 +64   – 80 · cos 40° = 89 - 80 · cos 40° 27, 7   →    a = 5,26 cm