Die Flächengeschwindigkeit (das Vektorkreuzprodukt )
Das 2. Keplersche Gesetz gilt nicht nur für Planeten in Bezug auf die Sonne, sondern für jeden Körper K, der sich unter einer Kraft bewegt, die auf ein bestimmtes Zentrum gerichtet ist. Man spricht in diesem Fall von einer Zentralkraft. Zur Prüfung dieser Behauptung muss eine Gleichung zur Berechnung der Flächengeschwindigkeit hergeleitet werden. Unter dieser Flächengeschwindigkeit vA verstehen wir das Verhältnis A/Δt. A ist die Fläche, welche in der Zeit Δt von der Verbindungsstrecke Körper-Zentrum (Länge = r) überstrichen wird. In der Abb.1 ist die Bewegung (rot) während eines kleinen Zeitabschnitts Δt dargestellt.
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Abb. 1 |
A = ½ ·h ·|r| ; vA = A / Δt = ½·(h /Δt) ·|r| (h / Δt) = |vK'| ist die Geschwindigkeit von Kʼ, der Projektion von K auf den Vektor {-y,x}. {-y,x} bildet mit r einen rechten Winkel. vA = A/ Δt = 0,5·|vK'| ·|r| Da {-y,x} den gleichen Betrag wie r hat, können wir |r| durch |{-y,x}| ersetzen. vA = ½ ·|vK'| ·|{-y,x}|; |vK' | = |v|·cos (α) vA = |v| · |{-y,x}| · cos (α) |v| · |{-y,x}| · cos (α) = v· {-y,x} = -v1· y + v2 · x Skalarprodukt !
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Behauptung: vA ist konstant.
Beweis: dvA/dt = 0,5 · [- (dv1/dt) · y - v1 · dy/dt + (dv2/dt)· x + v2 · dx/dt]
Produktregel der Differentialrechnung !
dx / dt = v1, dy / dt = v2 , dv2 / dt = a2 , dv1 / dt = a1
dvA/dt = 0,5 · (-a1 · y - v1 ·v2 + a2 · x + v2 · v1) = 0,5 · (-a1 · y + a2·x )
dvA/dt = 0,5 · {a1 , a2 } · {-y, x}, {a1 , a2 } ┴ {-y, x} → {a1 , a2 } · {-y, x} = 0 → dvA/dt = 0
Demnach ist vA während einer Bewegung unter einer Zentralkraft konstant. Das zweite Keplersche Gesetz ist somit bewiesen.
Vektor der Flächengeschwindigkeit
Der Flächengeschwindigkeit ordnen wir einen Vektor vA mit |vA| = vA zu, der mit seiner Richtung die Orientierung der Ebene E anzeigt, in der sich r dreht. vA steht definitionsgemäß so senkrecht auf E, dass ein Betrachter mit Blick auf seine Vektorspitze den rotierenden Körper K in einer Linksdrehung (positive Drehung) sieht (siehe Abb.2).
Abb.2
{0; 0; 0,5· (x ·v2 - y·v1)} ist vA bei einer Bewegung in der x-y-Eben.
{0; 0,5·(-x ·v3 + z· v1) ;0} ist vA bei einer Bewegung in der x-z-Ebene.
{0,5· (y ·v3 -z · v2); 0; 0} ist vA bei einer Bewegung in der y-z-Ebene.
Behauptung: vA =0,5· { (y ·v3 - z · v2 ) ; (-x ·v3 + z· v1 ); (x ·v2 -y·v1) } gilt allgemein.
Beweis:
1. Die Skalarprodukte von { (y ·v3 - z · v2 ) ; (-x ·v3 + z· v1 ); (x ·v2 -y·v1) } mit r und v sind Nullvektoren.
Folglich steht der Vektor 0,5· { (y ·v3 - z · v2 ) ; (-x ·v3 + z· v1 ); (x ·v2 -y·v1) } senkrecht auf der von r und v aufgespannten Ebene .
2. |{ (y ·v3 - z · v2 ) ; (-x ·v3 + z· v1 ); (x ·v2 -y·v1) }|2 = (y ·v3 - z · v2 )2 + (-x ·v3 + z· v1 )2 + (x ·v2 -y·v1)2 ist gleich der doppelten Flächengeschwindigkeit.
(2·vA)2 = (|vKʼ| · |r|)2 (siehe Abb.2 )
(|vKʼ| · |r|)2 = (|v| · sin(β) · |r| )2 = |v|2 · |r|2 · sin2(β)
sin2(β) = [1 - cos2(β) ], |-r| = |r|
|v|2 · |r|2 · sin2(β) = v2 · r2 - [|v| · |-r| · cos(β)] 2
|v| · |-r| · cos(β) = v · (-r )
(2·vA)2 = v2 · r2 - [v · (-r )]2, [v · (-r )]2 = [v · r]2
↓
(2·vA)2 = v2 · r2 - [v · r]2
Die Gleichheit von
(2·vA) 2 = (v12 + v22 + v32 ) · (x2 + y2 + z2 ) – (x· v1 + y· v2 + z· v3 ) 2
und (y· v3– z · v2 ) 2 + (z· v1– x · v3 ) 2 + ( x· v2- y · v1 ) 2
erkennt man nach Ausmultiplikation beider Terme.
Kreuzprodukt
{ y· v3 – z · v2 ; z· v1 – x · v3 ; x· v2 - y · v1 } wird Kreuzprodukt r x v aus den Vektoren r und v genannt. Diese Bezeichnung verdankt der angegebene Vektor der nun folgenden Regel zur Berechnung seiner Koordinaten.
Die Koordinaten der beiden Vektoren r und v werden nebeneinander in Säulen angeordnet.
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x |
v1 |
Zur Berechnung der x - Koordinate wird diese 1. Zeile gestrichen |
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y |
v2 |
Zur Berechnung der y Koordinate wird diese 2. Zeile gestrichen |
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z |
v3 |
Zur Berechnung der z Koordinate wird diese 3. Zeile gestrichen |
Zur Berechnung der n. Koordinate von r x v wird die n. Zeile gestrichen. Anschließend wird der erste Wert der verkürzten 1. Spalte mit dem zweiten Wert der anderen Spalte und hiernach der zweite Wert der ersten mit dem ersten Wert der zweiten Spalte multipliziert. Schließlich wird das zweite Produkt vom ersten subtrahiert. Bei Berechnung der y-Koordinate ist dann noch das Vorzeichen der Differenz umzukehren.
Es muss angemerkt werden, dass Kreuzprodukte nicht nur aus Orts- und Geschwindigkeitsvektoren, sondern aus vielerlei Vektoren a und b gebildet wird.
a x b = { a2· b3 – a3 · b2; a3· b1 – a1 · b3; a1· b2 – a2 · b1 }
a, b und a x b verhalten sich der Richtung nach wie der Daumen, der Zeige- und der Mittelfinger der rechten Hand, wenn der Mittelfinger von den beiden anderen rechtwinklig abgespreizt ist ( Rechte-Hand-Regel ).
|a x b| ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, wenn als Flächeneinheit ein Rechteck gewählt wird mit der Einheit von a als Länge und der Einheit von b als Breite.
Abb. 3
