Prüfung der Planetenbahn auf Ellipsenform mit Hilfe einer Gleichung für die x- und y-Koordinaten der Ellipse

Der Ellipse wird ein Koordinatensystem zugeordnet. Die x –Achse läuft durch die beiden Brennpunkte, die y-Achse halbiert die Verbindungsstrecke der Brennpunkte rechtwinklig. Die halbe Abstand der Brennpunkte von einander wird Exzentrizität e genannt. Mit a und b werden die halben Ellipsendurchmesser auf der x-  und y-Achse bezeichnet.

Abb. 1

Abb. 2



L1 = [(x-e)2 + y2 ] ½    ; L2 = [(x+e)2 + y2 ] ½      →      [(x-e)2 + y2 ] ½    + [(x+e)2 + y2 ] ½     = Konstante

Behauptung: Konstante = 2· a

Zur Begründung betrachten wir den Punkt P auf der x-Achse ( siehe Abb. 2) und stellen fest:   L1 + L2 = (a - e) + (a + e) = 2· a

[(x-e)2 + y2 ] ½    = 2·a - [(x+e)2 + y2 ] ½   → (x-e)2 + y2  =  4·a2 + (x+e)2 + y2 - 4· a · [(x+e)2 + y2 ] ½ 

beide Seiten wurden quadriert !

↓

4·a2 + (x+e)2 + y2 - (x-e)2 – y2 = 4· a · [(x+e)2 + y2 ] ½

↓

e·x +  a2 = a · [(x+e)2 + y2 ] ½  → e2 · x2 + a4 + 2·e·x·a2 = a2 · [(x+e)2 + y2 ]

↓

e2 · x2 + a4 + 2·e·x·a2 = a2 · x2 + a2 · e2 + 2·e·x·a2 + a2 · y2

e2 = a2 – b2

↓

a2 · x2 - b2 · x2+ a4 + 2·e·x·a2 = a2 · x2 + a4 - a2 · b2+ 2·e·x·a2 + a2 · y2

↓

- b2 · x2  = - a2 · b2 + a2 · y2        →           x2 / a2  +  y2 / b2 = 1 (Ellipsengleichung)

↓

|y| = b · (1 - x2 / a2 )½   →   y =  b · (1 - x2 / a2 ) ½ ; y =  - b · (1 - x2 / a2 ) ½  

 

Nach der Eingabe von „36“ und „START“ erscheint eine errechnete Planetenbahn zusammen mit den hier angegebenen Funktionsgleichungen. Es kann gezeigt werden, dass x2 / a2  +  y2 / b2 = 1 die Planetenbahn beschreibt.

 


Anmerkung:

Es liegt nahe, die Ellipsengleichung mit dem Term z2 / c2 zu ergänzen. Alle Punkte, deren Koordinaten die Gleichung x2 / a2  +  y2 / b2 + z2 / c2 = 1 erfüllen, bilden ein Ellipsoid (siehe Abb. 3).

Abb. 3