Aufgaben

Die Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in der zweiten Hälfte dieser Seite !

1. Ein rotierender Vollzylinder (Radius R , Masse m ) mit waagrechter Rotationsachse fällt aus geringer Höhe auf einen ebenen

Boden. Die Umfangsgeschwindigkeit vor dem Aufschlag beträgt v_o = 12 m/s.

1.Welche Geschwindigkeit erreicht der Zylinder nach dem Aufsetzen auf dem Boden, wenn die Rollreibung vernachlässigt

werden kann ?

2. Wie groß ist der Energieverlust des Zylinders während seiner Beschleunigung auf dem Boden?

Lösungen

Zu 1.:

Dem rollenden Zylinder wird ein Koordinatensystem mit den folgenden Eigenschaften zugeordnet:

1. Sein Ursprung liegt in der Höhe der Rotationsachse.

2. Seine z-Achse hat die Richtung des Drehimpulsvektors.

3. Die x-Achse zeigt die Beschleunigungsrichtung des Zylinderschwerpunkts an.

Nach dem Aufschlag reibt der Zylinder auf dem Boden. Die beschleunigende Kraft ist demnach die Gleitreibungskraft F = m· g·μ ( μ: Reibungskoeffizient).

a = F/m = g·μ

v = g·μ ·t

v: Geschwindigkeit des Zylinderschwerpunkts nach der Beschleunigungszeit t.

Das zur z-Achse parallele Drehmoment mit der z-Koordinate -m·g·μ·R bewirkt eine Änderung des Drehimpulses mit der z-Koordinate L .

- m· g·μ · R = dL/dt

L = ω · J; ω = Umfangsgeschwindigkeit v'/R → L = J· v'/R

dL/dt = J · a'/R

a': Umfangsbeschleunigung in Bezug auf den Zylinderschwerpunkt.

- m· g · μ · R = dL/dt; dL/dt = J ·a'/R ; J = ½ · m · R²

↓

a' = - 2 · g · μ → v' = v - 2 · g · μ · t

Die Endgeschwindigkeit v_E ist nach der Beschleunigungszeit t_E dann erreicht, wenn v‘ = v ist.

v_o - 2 · g · μ · t_E = g · μ · t_E → t_E = v₀ / (3· g · μ )

v_E = g · μ · v₀ / (3· g · μ ) = v₀ / 3 = 4 m/s

Zu 2.:

Rotationsenergie E_A vor dem Aufschlag:

E_A = ½ · J · ω² = ½ · J · v₀ ² / R² = m · v₀² / 4

Energie E_E am Ende der Beschleunigung:

E_E = Energie zur Schwerpunktsbewegung + Rotationsenergie

E_E = m · v_E ²/ 2 + m ·v_E ²/ 4 = ¾ ·m ·v_E² ; v_E = v₀ /3

E_E = m ·v₀ ²/ 12

2/3 der Anfangsenergie geht infolge der Reibung verloren.