3.7.1 Der Schwingkreis


Abb. 1

Abb. 2

Wird der am U-Rohr sichtbare Hahn geöffnet, dann schwingt das Wasser zwischen den beiden Schenkeln hin und her, bis infolge von Reibung die Schwingungsenergie aufgezehrt ist. Mit dem mit Wasser gefüllten U-Rohr ist ein Kondensator vergleichbar. Die beiden Elektroden des Kondensators entsprechen den Schenkeln des U-Rohrs. Werden die beiden Platten eines geladenen Kondensators miteinander leitend verbunden, dann wird ein Ladungsausgleich angestrebt, ähnlich dem Flüssigkeitsausgleich in einem U-Rohr. Es ist daher zu erwarten, dass die Kondensatorladung zwischen den beiden Elektroden hin und her schwingt, sobald die Elektroden leitend verbunden werden. Die Schwingung wird solange anhalten, bis die Schwingungsenergie infolge des ohmschen Leitungswiderstands als Wärme abgegeben ist. Es wird eine gedämpfte Schwingung sein.


Abb. 3

Zum Nachweis einer elektrischen Schwingung wird der oben skizzierte Versuch mit dem ADA- Wandler CASSY-E ( Leybold) durchgeführt. Das Messprogramm „MAuS“ veranlasst eine Spannung von 9 V am Ausgang X des CASSY, was zu einer Aufladung des 2,2 μF-Kondensators führt. Anschließend setzt es die Spannung am X-Ausgang auf 0. Dies wirkt sich wie ein Kurzschluss des x-Ausgangs aus. Die Kondensatorladung schwingt daraufhin durch die Spule zwischen den beiden Kondensatorelektroden hin und her. Die der Ladung proportionale Kondensatorspannung  liegt am Messeingang B des CASSY. Sie wird vom Rechner in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt. Das Diagramm (siehe Abb.3) zeigt eine gedämpfte elektrische Schwingung.

Abb. 4 zeigt eine Anordnung, die in der Entdeckungszeit elektrischer Schwingungen zum Experimentieren genutzt wurde. Ein Kondensator wird über einen Widerstand R unter einer hohen Spannung U aufgeladen. Bei einer bestimmten Kondensatorspannung wird ein Funken zwischen zwei Kontakten gebildet. Die dabei entstehenden Gasionen machen die Funkenstrecke zu einer leitfähigen Verbindung zwischen den beiden Kondensatoranschlüssen. Es bildet sich eine gedämpfte Schwingung aus. Nach dem Abklingen setzt die nächste Schwingung ein usw..

Abb. 4

Quantitative Behandlung der elektrischen  Schwingung

Eine Kombination aus einer Spule und einem Kondensator, wie er in Abb. 5 zu sehen ist, heißt Schwingkreis. Die elektrischen Schwingung, die nach Schließen des Schalters S in diesem  Schwingkreis abläuft, soll nun mit einem kleinen Programm dargestellt werden. Zu der für die Berechnung der jeweiligen Kondensatorladung Q notwendigen Gleichung ( unter der Abb. 5) finden wir, wenn wir in Gedanken den Schwingkreis durchlaufen, zunächst vom Punkt 1 zum Punkt 2 und dann durch die Spule wieder zurück zum Punkt 1. Im ersten Schritt durchlaufen wir die Spannung – Q/C und im zweiten Schritt die Spannung I · R. Die Summe der beiden Spannungen ist gleich der Induktionsspannung  - L · dI/dt. Q steht für die Ladung auf der unteren Kondensatorplatte.

Abb. 5

-Q/C + I · R = - L · dI/dt 

Sind Q und I vor einem kleinen Zeitabschnitt Δt bekannt, dann können die Ladung Q’, die Stromstärke I’  und die Spannung U’ nach Δt berechnet werden.

( Q/C – I · R)  = L · ΔI / Δt    →  ΔI = ( Q/C – I · R)  · Δt / L

I’ = I + ΔI

I’ = I + ( Q/C – I · R)  · Δt / L

Q’ = Q – I · Δt;  U’ = Q’/C

Wenn die Spannung nach Δt  bekannt ist, dann wird  mit den gleichen Rechenschritten die Spannung am Ende des nächsten  Δt berechnet usw..

Mit dem folgenden Programm in sim.html kann der Spannungsverlauf während der Schwingung dargestellt werden.

Für R, C und L wurden die Werte des in Abb. 3 dargestellten Schwingkreises genommen. Die Anfangsladung Q ist 2,2 μF · 9V ≈ 0,00002 C.

h=0,00001;L=0,043;R=23;C=2,2E-6;I=I+(Q/C-I*R)*h/L;Q=Q-I*h;t=t+h;U=Q/C;y=U;x=t

Anfangswert von Q: 2E-5 C

Dieses Programm liefert das nachfolgende Diagramm. Die anfängliche Amplitudenabnahme ist geringer als bei dem Messdiagramm in Abb.3. Dieser Unterschied ist darauf zurückzuführen, dass die Spannung am x-Ausgang nicht ganz spontan auf 0V fällt.


Abb. 6

Die Vergrößerung von  C oder L führt zu einer Verlängerung der Schwingungszeit T. 

Wie hängt T von L und C ab ?

Auf diese Frage wird nun eine Antwort gesucht.

Wir gehen aus von der Gleichung:  -Q/C + I · R = - L · dI/dt

Zur Vereinfachung  setzen wir R = 0.      →     Q/C  =  L · dI/dt

Für R = 0 ist eine ungedämpfte Schwingung mit Q = Q0 · sin(ω·t) mit  ω= 2· π / T  zu erwarten.

Q = Q0 · sin(ω·t) ;   I =  -dQ/dt ( das – Zeichen zeigt die Ladungsabnahme an !)

↓

I = -Q0 · ω· cos(ω·t)   →  dI/dt = Q0 · ω2 · sin(ω·t)

Die beiden Terme für Q und dI/dt  werden in die Gleichung Q/C  =  L · dI/dt  eingesetzt.

Q0 · sin(ω·t) / C = L · Q0 · ω2 · sin(ω·t)    → 1/C = L · ω2     →  ω2 = 1/ (L· C)

Unter Berücksichtigung von ω2 = (2·π/ T) 2 erhalten wir:      T2 = (2·π)2 · (L· C)


Thomsonsche Schwingungsgleichung