3.3.11 Entladung und Aufladung eines Kondensators

In 3.3.10 wurde darauf hingewiesen, dass es schwierig ist, die Spannung eines Kondensators mit kleiner Kapazität mit üblichen Voltmetern zu messen, weil die Ladung  zu schnell über das Voltmeter abfließt.

Wie schnell wird ein Kondensator über einen Widerstand entladen (siehe Abb.1)?

Auf diese Frage soll nun eine Antwort gefunden werden.

Abb. 1

Nach der Definition der Kapazität C  = Q/U gilt für die Spannung zwischen den Kondensatoranschlüssen:    U = Q/C. Nach dem Schließen des Schalters S fließt ein Strom der Stärke I nach    Q/C = I· R → I = Q/ (C· R)     und vermindert in der kleinen Zeitabschnitts Δt   die Ladung Q um ΔQ = I·Δt = Q/(C·R)·Δt. Δt ist so klein gewählt, dass sich die Stromstärke in dieser Zeit kaum verändert. Die Ladung zu Beginn von Δt wird mit Q und die am Ende  mit Q’ bezeichnet.

Q’ = Q – I · Δt;  I = Q/ (C· R)

↓

 Q’ = Q – Q/ (C · R) · Δt = Q · [1 – 1/(R·C) ·Δt ]

↓

U’ =  U · [1 – 1/(R·C) · Δt ]           U, U’ : Spannungen vor und  nach Δt

Mit der folgenden Programmzeile in sim.html wird der Spannungsverlauf während der Kondensatorentladung ( C =0,002 F; R =1000 Ω) angezeigt.

C = 0,002; R = 1000; h=0,01; U=U*(1-1/(R*C)*h); t=t+h; y=U; x=t;

Anfangsspannung U = 10V.

Abb. 2

Das mit dem obigen Programm gezeichnete Diagramm (Abb. 2) ähnelt sehr dem Diagramm, welches die Massenabnahme in einem zylindrischen Gefäß mit textilem Boden beschreibt. DiMassenabnahme in einem zylindrischen Gefäß mit textilem Bodenes wird verständlich, wenn wir die folgenden Gleichungen gegenüberstellen.

Massenabnahme im Gefäß                     Δm =  m · k · Δt

Ladungsabnahme im Kondensator:        ΔQ  =   Q · [1/ (C· R) ] · Δt   

 Angesichts der Ähnlichkeit dieser Gleichungen kann von der für die Massenabnahme gültigen Gleichung   

m = m₀ · e ^–k·t    auf     Q=Q₀ · e ^{– t/ (R· C)}     bzw.     U = U₀ · e ^{– t/ (R· C)}     geschlossen werden.

Mit „ C = 0,002; R = 1000; h=0,01; U=U*(1-1/(R*C)*h); t=t+h; y=U; x=t; w=10*exp(-t/(R* C)) ; “ in sim.html kann diese Schlussfolgerung überprüft werden.

Zur Beschreibung des Entladungsgeschwindigkeit wird meistens die Halbwertszeit    angegeben, es ist die Zeit t_h, während der die Spannung auf die Hälfte ihres Anfangswertes absinkt. Für diese Halbwertszeit gilt:

U/U₀ = ½ = e ^{– th / (R· C)}    →    ln (½) = -t_h / (R· C)     →   ln (2) = t_h / (R· C)    →      t_h  = R·C · ln (2)

t_h  = R·C · ln (2);   ln(2) = 0.693147180559945   →  t_h  ≈ R·C · O,7

Beispiel: R = 1000 Ω, C = 0,002 F = 2 mF

t_h = 1,4 s

Wie entwickelt sich die Kondensatorspannung bei einer Aufladung (siehe  Abb. 3 ) ?

Abb. 3

Die Summe aller Spannungen in der Leitermasche ist 0:    U – U_B + I· R = 0 

I = dQ/dt;    Q = C · U  →   I = C ·  dU/dt  

Für kleine Δt gilt:

U – U_B + R ·C· ΔU/Δt = 0   →    ΔU = (U_B – U)·Δt / (R · C)

Ist U die Spannung vor Δt, dann ist die Spannung nach Δt gleich U’ = U + ΔU

U’ = U + (U_B – U)·Δt / (R · C)

↓

Abweichung der Kondensatorspannung von der Maximalspannung U_B : U_B - U’ = U_B - [ U + (U_B – U)·Δt / (R · C) ]

↓

U_B - U’ = U_B - U - (U_B – U)·Δt / (R · C)

↓

U_B - U’ = (U_B – U) · [1 - Δt / (R · C)]

Für die Entladung wurde gefunden: U =  U_Anfang · [1 – Δt/(R·C) ] .

U verhält sich bei der Entladung so wie U_B – U (Abweichung von der Maximalspannung) bei der Aufladung.

↓

U_B – U = (U_B – U_Anfang ) · e^-t/(R·C) ( U_Anfang = Kondensatorspannung zu Beginn der Aufladung = 0 !)

^↓

U_B – U = U_B · e^-t/(R·C)     →      U = U_B · ( 1 - e^-t/(R·C) )

siehe Abb. 4

Abb. 4