Folgende Fragen sind zu beantworten:
Welche Längenänderung des Drahtes wird mit einer Spannungsänderung um 1 Volt am Ausgang des Verstärkers angezeigt ? Welche Kraft ist dieser Längenänderung zuzuordnen ? |
Es wird zunächst die Änderung des elektrischen Drahtwiderstands bei einer Dehnung untersucht, dann die zu dieser Widerstandsänderung gehörende Ausgangsspannung UA des Messgeräts bestimmt und zuletzt die dehnende Kraft ermittelt.
1. Änderung ∆R des elektrischen Widerstands R bei einer Dehnung eines Drahtes der Länge L um ∆L
R ~ L/ A → R ·A/ L = Konstante = spezifischer Widerstand ρ
→ R = L/A ·ρ
A · L = konstantes Volumen V → A = V / L
→ R = L2 · ρ / V
∆R = [(L + ∆L)2 – L2 ] · ρ / V → ∆R = (2 · L · ∆L + ∆L2) · ρ / V
∆R / R = (2 · L · ∆L + ∆L2) / L2 = ∆L · (2 · L + ∆L) / L2
∆L ist vernachlässigbar klein im Vergleich mit 2 · L.
→ ∆R / R ≈ 2 · ∆L/L
Die relative Widerstandsänderung ist doppelt so groß wie die relative Längenänderung !
2. Berechnung Längenänderung ∆L bei einer Ausgangsspannung U A = 1 V.
Abb. 1
Wird der Widerstand des Drahtes um ∆R vergrößert, dann sorgt der Operationsverstärker dafür, dass die Spannungen über R und R+∆R gleich bleiben. Er bewirkt, dass durch R ein Strom fließt, der um ∆I größer ist als der Strom durch den Draht. Für die Ausgangsspannung UA gilt:
UA = RV · ∆I .
(R+∆R) · I = R · (I+ ∆I) → ∆R · I = R · ∆I → ∆I = (∆R/R) · I
∆R/R = 2 · ∆L/L
↓
∆I = 2 ·(∆L/L) · I → ∆L/L = ∆I / (2 · I)
UA = RV · ∆I
↓
∆L/L = UA / (2 · I · RV)
Da die Stromstärke I’ im Falle ∆R =0 wegen der Kleinheit von ∆R kaum von der Stromstärke I im Falle ∆R > 0 abweicht, können wir in die letzte Gleichung statt I die Stromstärke I’ einsetzen (I ≈ I’).
I ≈ I’ = UB / (2 · R), UB ist die Spannung über der Wheatstonebrücke.
UB = U0 ·RB / (RB + 2 · R0) , RB ist der Gesamtwiderstand der Brücke.
1/ RB = 1/(2 ·R1) + 1 /(2 · R ) → RB =21, 81 Ω, UB =2,11 V, I ≈ UB / (2 ·R) = 0.07 A
∆L/L = UA / (2 · I · RV) = 1 V / (0,14 A · 200000 Ω) = 36 ·10-6
3. Berechnung der Kraft im Falle UA = 1 V
F ist die Kraft auf die Drahtschlinge und F’ = F/2 die auf einen einzelnen Draht.
F’ ~ ∆L · A / L → F’ · L / (A · ∆L) = Konstante = Elatizitätsmodul ε
→ F’ = ε ·∆L/L · A
Es liegt ein Draht mit dem Durchmesser 0,2 mm vor.
Elastizitätsmodul ε von Konstantan = 180000 N/mm2
F’ = 180000 N/mm2 · 36 ·10-6 · π · 0,01 mm2 =0,2 N
F= 0, 4 N